Séries de Taylor e de Maclaurin: fórmula, exemplos e erro
Aprenda as fórmulas das séries de Taylor e de Maclaurin, as quatro séries básicas, como montar séries novas e como limitar o erro de um polinômio de Taylor.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
Nesta página
- O que é uma série de Taylor?
- Como encontrar uma série de Taylor passo a passo
- Exemplo resolvido 1: a série de Maclaurin de e^x
- Exemplo resolvido 2: a série de Maclaurin de sen x
- Exemplo resolvido 3: uma série de Taylor centrada em a = 1
- As quatro séries de Maclaurin para memorizar
- Exemplo resolvido 4: montando séries novas a partir das quatro básicas
- Polinômios de Taylor como aproximações
- O resto de Taylor: qual o tamanho do erro?
- Exemplo resolvido 5: estimando sen(0,5) com limite de erro
- Erros comuns com séries de Taylor
- A prática transforma fórmulas em instinto
Sua calculadora dá \sin(0.5) na hora, mas \sin não é algo que se calcula só com mais, menos, vezes e dividir. As séries de Taylor são a forma de transformar uma função como \sin x, e^x ou \ln x num polinômio que você consegue de fato calcular, e elas aparecem em todo lugar, da física até o interior daquela calculadora.
Este guia traz as fórmulas de Taylor e de Maclaurin, as quatro séries que vale a pena memorizar, como montar séries novas sem calcular derivadas e como limitar o erro quando você para depois de poucos termos.
O que é uma série de Taylor?
Uma série de Taylor reescreve uma função como um polinômio infinito centrado num ponto a. Os coeficientes vêm das derivadas de f em a:
Uma série de Maclaurin é o caso particular a = 0:
A ideia é simples. O primeiro termo reproduz o valor de f em a. Acrescentar o segundo termo reproduz também a inclinação, o que dá a reta tangente da aproximação linear. O terceiro termo reproduz a concavidade, e assim por diante. Cada termo novo copia mais uma derivada.
Se você parar depois do termo em (x-a)^n, obtém o polinômio de Taylor de grau n, escrito T_n(x).
Como encontrar uma série de Taylor passo a passo
- Calcule f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots até enxergar um padrão.
- Divida o valor da derivada de ordem n por n! para obter o coeficiente c_n.
- Escreva a série \sum c_n (x-a)^n, usando o padrão para o termo geral.
- Se for pedido, encontre o intervalo de convergência com o teste da razão, como no nosso guia de séries de potências.
Exemplo resolvido 1: a série de Maclaurin de e^x
Passo 1. Calcule as derivadas. Toda derivada de e^x é e^x, então f^{(n)}(0) = e^0 = 1 para todo n.
Passo 2. Monte os coeficientes. c_n = \frac{1}{n!}.
Passo 3. Escreva a série.
O teste da razão dá \frac{|x|}{n+1} \to 0, então isso vale para todo x real. Substitua x = 1 e você ganha uma forma rápida de calcular e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718.
Exemplo resolvido 2: a série de Maclaurin de sen x
Passo 1. Calcule as derivadas e avalie em 0.
| n | f^{(n)}(x) | f^{(n)}(0) |
|---|---|---|
| 0 | \sin x | 0 |
| 1 | \cos x | 1 |
| 2 | -\sin x | 0 |
| 3 | -\cos x | -1 |
| 4 | \sin x | 0 |
Os valores se repetem em ciclo, 0, 1, 0, -1, para sempre.
Passo 2. Fique só com os termos não nulos. As potências pares somem. As potências ímpares alternam de sinal, com n! embaixo.
Passo 3. Escreva a série.
Os mesmos passos para \cos x dão as potências pares:
Uma conferência rápida: \sin x é ímpar e sua série só tem potências ímpares. \cos x é par e sua série só tem potências pares.
Veja como ficam os polinômios de Taylor de \sin x. Cada termo a mais acompanha a curva por um trecho maior.
Exemplo resolvido 3: uma série de Taylor centrada em a = 1
Encontre a série de Taylor de f(x) = \ln x centrada em a = 1.
Passo 1. Calcule as derivadas.
O padrão para n \ge 1 é f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.
Passo 2. Avalie em a = 1. f(1) = 0 e f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)! para n \ge 1.
Passo 3. Divida por n!. Como \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}, o coeficiente é c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Passo 4. Escreva a série.
Ela converge para 0 < x \le 2.
As quatro séries de Maclaurin para memorizar
| Função | Série de Maclaurin | Válida para |
|---|---|---|
| e^x | \sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots | todo x |
| \sin x | \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots | todo x |
| \cos x | \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots | todo x |
| \frac{1}{1-x} | \sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots | -1 < x < 1 |
Com essas quatro na manga, você pode pular as derivadas na maioria das questões de prova.
Exemplo resolvido 4: montando séries novas a partir das quatro básicas
Você pode substituir, multiplicar, derivar e integrar séries termo a termo, dentro do intervalo de convergência.
Substituir. Para e^{-x^2}, troque x por -x^2 na série de e^x:
Multiplicar. Para x\cos x, multiplique cada termo da série do cosseno por x:
Integrar. Troque x por -x^2 em \frac{1}{1-x} para obter
Como \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x, integre termo a termo:
Cada uma delas exigiria muitas derivadas para ser obtida diretamente.
Polinômios de Taylor como aproximações
Raramente você precisa da série infinita inteira. Poucos termos já dão uma excelente aproximação perto do centro, e é por isso que os físicos trocam \sin\theta por \theta numa oscilação pequena de pêndulo, e \cos\theta por 1 - \frac{\theta^2}{2}.
Por exemplo, T_2 de \cos x em 0 dá \cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98. O valor real é 0.980067, então dois termos já acertam quatro casas decimais. Quanto mais você se afasta do centro, mais termos precisa para a mesma precisão, e a estimativa do resto abaixo diz exatamente quantos.
O resto de Taylor: qual o tamanho do erro?
Quando você troca f por T_n, o erro é o resto R_n(x) = f(x) - T_n(x). A desigualdade de Taylor o limita:
onde M é qualquer número com |f^{(n+1)}(t)| \le M para todo t entre a e x.
Leia assim: o erro é controlado pela próxima derivada, pelo próximo fatorial e pela distância até o centro. Estar perto de a e usar mais termos diminuem o erro.
Exemplo resolvido 5: estimando sen(0,5) com limite de erro
Estime \sin(0.5) com T_3 e limite o erro.
Passo 1. Calcule o polinômio.
Passo 2. Encontre M. A quarta derivada de \sin x é \sin x, e |\sin t| \le 1, então M = 1.
Passo 3. Aplique a estimativa com n = 3.
Então \sin(0.5) está a menos de 0.0026 de 0.47917. O valor real é 0.47943, e o erro efetivo é de cerca de 0.00026, bem dentro do limite.
Dica: em \sin x o coeficiente de x^4 é 0, então T_3 = T_4. Usar n = 4 na estimativa dá \frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026, uma estimativa muito mais fina.
Como essa série alterna com termos decrescentes, a estimativa da série alternada dá a mesma resposta fina: o erro é no máximo o primeiro termo descartado, \frac{(0.5)^5}{120}.
Erros comuns com séries de Taylor
- Esquecer o fatorial. O coeficiente é \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, não apenas f^{(n)}(a).
- Usar potências de x quando a \ne 0. Uma série centrada em 1 é em potências de (x - 1).
- Confundir seno com cosseno. O seno é ímpar e começa com x. O cosseno é par e começa com 1.
- Calcular derivadas quando a substituição resolve. Para e^{3x}, basta trocar x por 3x na série de e^x.
- Ignorar o intervalo de convergência. A série de \frac{1}{1-x} não serve para nada em x = 2.
- Usar a derivada errada na estimativa do erro. A estimativa para T_n precisa de um limite para f^{(n+1)}, uma derivada além do último termo mantido.
A prática transforma fórmulas em instinto
Depois de memorizar as quatro básicas e montar algumas séries por substituição, as séries de Taylor deixam de parecer uma parede de fatoriais. A lição interativa abaixo traz séries para montar e aproximações para conferir, com feedback imediato em cada coeficiente, para você ver exatamente qual termo saiu errado.
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