Testes de convergência de séries: qual usar e quando

Você está olhando para \sum \frac{3^n}{n!} e sabe que existem oito testes de convergência diferentes, mas qual usar? A maioria das questões de séries não é difícil depois que você escolhe o teste certo. A parte difícil é a escolha. Este guia apresenta cada teste de convergência padrão com um exemplo resolvido e depois traz uma tabela de decisão para você escolher rápido.

O que significa uma série convergir?

Uma série \sum a_n converge se suas somas parciais S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N se aproximam de um número finito quando N \to \infty. Caso contrário, ela diverge.

Na maior parte das vezes você não consegue calcular a soma exata (as séries geométricas são a grande exceção). Os testes de convergência respondem a uma pergunta mais simples: a soma existe? Cada teste abaixo dá um veredito de converge, diverge ou inconclusivo.

1. O teste do termo geral para divergência

Exemplo. \sum \frac{n}{2n+1}. Os termos se aproximam de \frac12, não de 0. Somar infinitos números próximos de \frac12 não pode dar um total finito, então a série diverge.

Dica: este teste nunca prova convergência. Se a_n \to 0, o teste não diz nada e você precisa tentar outro.

2. Séries geométricas

Exemplo. \sum \frac{5}{4^n} tem r = \frac14, então converge.

3. O teste da série p

Exemplos. \sum \frac{1}{n^{3/2}} converge (p = 1.5). \sum \frac{1}{\sqrt n} diverge (p = 0.5). A série harmônica \sum \frac1n (p = 1) diverge, embora seus termos encolham até 0.

A série harmônica diverge de forma extremamente lenta. Suas somas parciais crescem como \ln N: você precisa de mais de 12.000 termos só para passar de 10. O gráfico mostra as somas parciais presas entre duas curvas logarítmicas, que vão ambas para o infinito.

4. O teste da integral

Se f é positiva, contínua e decrescente para x \ge N, e a_n = f(n), então

Exemplo. A série \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n} converge?

Passo 1. Verifique as condições. f(x) = \frac{1}{x\ln x} é positiva, contínua e decrescente para x \ge 2.

Passo 2. Calcule a integral imprópria. Com u = \ln x, du = \frac1x\,dx:

Passo 3. Conclua. A integral diverge, então a série diverge.

É também do teste da integral que vem a regra da série p: \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge exatamente quando p > 1.

5. O teste da comparação direta

Suponha que 0 \le a_n \le b_n para todo n grande.

• Se \sum b_n converge, então a menor, \sum a_n, converge.
• Se \sum a_n diverge, então a maior, \sum b_n, diverge.

Exemplo (convergência). \sum \frac{1}{n^2 + 5}. Como n^2 + 5 > n^2, temos \frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}. A série p \sum \frac{1}{n^2} converge, então esta série converge.

Exemplo (divergência). \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}. Para n \ge 3, \ln n > 1, então \frac{\ln n}{n} > \frac1n. A série harmônica diverge, então esta série diverge.

6. O teste da comparação no limite

A comparação direta exige uma desigualdade no sentido certo, o que pode ser trabalhoso. O teste da comparação no limite só exige que os termos se comportem de forma parecida. Se a_n, b_n > 0 e

então \sum a_n e \sum b_n ou ambas convergem ou ambas divergem.

Exemplo. A série \sum \frac{2n+3}{n^3+1} converge?

Passo 1. Escolha b_n a partir dos termos dominantes. Para n grande, \frac{2n+3}{n^3+1} se comporta como \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}. Tome b_n = \frac1{n^2}.

Passo 2. Calcule o limite.

Passo 3. Conclua. L = 2 é positivo e finito, e \sum\frac1{n^2} converge, então a série original converge.

7. O teste da razão

Seja

Se L < 1, a série converge (absolutamente). Se L > 1, ela diverge. Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Exemplo. A série \sum \frac{3^n}{n!} converge?

Passo 1. Monte a razão.

Passo 2. Calcule o limite. \frac{3}{n+1} \to 0.

Passo 3. Conclua. L = 0 < 1, então a série converge.

O teste da razão brilha com fatoriais e exponenciais, porque a maior parte da expressão se cancela. Ele é inútil para séries p e funções racionais de n: tanto \sum\frac1n quanto \sum\frac1{n^2} dão L = 1.

8. O teste da raiz

Seja

Os vereditos são os mesmos do teste da razão: L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 é inconclusivo.

Exemplo. A série \sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n converge?

Como L = \frac12 < 1, a série converge. Use o teste da raiz sempre que o termo inteiro estiver elevado à potência n.

9. O teste da série alternada

Uma série alternada tem a forma \sum (-1)^{n+1} b_n com b_n > 0. Ela converge se

1. b_{n+1} \le b_n para todo n grande (os tamanhos acabam diminuindo), e
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Exemplo. A série harmônica alternada 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots tem b_n = \frac1n, que decresce até 0. Então ela converge (na verdade, para \ln 2).

Limitante do erro. Para uma série que passa neste teste, parar depois de N termos dá um erro que não passa do próximo termo: |S - S_N| \le b_{N+1}. Por exemplo, os 99 primeiros termos da série harmônica alternada ficam a menos de \frac{1}{100} de \ln 2.

Convergência absoluta e condicional

Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge. Chamamos isso de convergência absoluta. A série harmônica alternada converge, mas \sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n diverge, então ela converge apenas condicionalmente. Já \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} converge absolutamente, porque \sum\frac{1}{n^2} converge.

Qual teste de convergência você deve usar?

Percorra esta tabela de cima para baixo. A primeira linha que combinar costuma ser o caminho mais rápido.

Dica: para encontrar a série p certa para uma comparação, mantenha apenas a maior potência de n no numerador e no denominador. \frac{2n+3}{n^3+1} se comporta como \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}.

Erros comuns com testes de convergência

1. Usar o teste do termo geral para provar convergência. a_n \to 0 não prova nada. A série harmônica é o contraexemplo clássico.
2. Tratar L = 1 como veredito. Nos testes da razão e da raiz, L = 1 significa trocar de teste.
3. Comparar no sentido errado. Ser menor que uma série divergente, ou maior que uma convergente, não diz nada.
4. Esquecer as condições do teste da integral. A função precisa ser positiva e decrescente (pelo menos a partir de certo ponto).
5. Confundir a série com a sequência. "Os termos convergem para 0" e "a série converge" são afirmações diferentes.
6. Ignorar os módulos. Os testes da razão e da raiz usam |a_n|, e uma série alternada pode convergir sem convergir absolutamente.

Pratique a escolha do teste certo

Reconhecer qual teste serve é uma habilidade de reconhecimento de padrões, e ela só fica rápida com repetição. Depois de algumas dezenas de séries, você vai bater o olho em \frac{3^n}{n!} e pensar "teste da razão" antes mesmo de terminar de ler. A lição interativa abaixo mistura séries de todos os tipos e dá feedback imediato tanto sobre o teste escolhido quanto sobre a sua conclusão.