Aproximação linear: estimativas pela reta tangente e diferenciais

Você precisa de \sqrt{4.1}, de \sin(0.1) ou do erro no volume de uma esfera medida, e não tem calculadora (ou a sua prova não permite). A aproximação linear transforma esses problemas numa linha de contas, usando a reta tangente no lugar da curva. É também a ideia por trás das estimativas de erro na física e na engenharia.

O que é aproximação linear?

Dê zoom suficiente em qualquer curva suave e ela começa a parecer uma reta. Essa reta é a reta tangente. Aproximação linear significa usar a reta tangente num ponto a para estimar o valor da função em pontos próximos.

A reta tangente em x = a se chama linearização de f em a:

e, para x perto de a,

Leia a fórmula assim: comece na altura conhecida f(a) e ande pela tangente, com inclinação f'(a), uma distância horizontal de x - a.

Repare que a reta tangente fica um pouco acima da curva dos dois lados. Esse detalhe diz se a sua estimativa é grande ou pequena demais, e voltamos a ele mais abaixo.

Por que a reta tangente é uma boa estimativa

A derivada é definida como um limite de quocientes de diferenças:

Então, quando x está perto de a, o quociente \frac{f(x) - f(a)}{x - a} está perto de f'(a). Multiplique os dois lados por (x - a), some f(a) e você obtém exatamente f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). A aproximação linear é só a definição de derivada lida de trás para frente. Essa propriedade das funções suaves, parecer reta de perto, se chama linearidade local.

Isso também explica por que a estimativa piora conforme você se afasta de a: o quociente de diferenças se distancia de f'(a), e a curva se afasta da reta.

Como fazer uma aproximação linear em 4 passos

1. Escolha f. Decida de qual função o número vem, por exemplo f(x) = \sqrt{x} para \sqrt{4.1}.
2. Escolha um a próximo onde f(a) seja fácil de calcular exatamente. Para raízes quadradas, escolha um quadrado perfeito; para trigonometria, um ângulo como 0 ou \frac{\pi}{6}.
3. Calcule f(a) e f'(a) e escreva L(x).
4. Substitua o valor desejado.

Toda a habilidade está no passo 2. Uma boa escolha de a torna as contas triviais e mantém o erro pequeno.

Exemplo resolvido 1: estimar a raiz quadrada de 4,1

Passo 1. Seja f(x) = \sqrt{x}. Então f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 2. O quadrado perfeito mais próximo de 4.1 é 4, então a = 4.

Passo 3. f(4) = 2 e f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. Logo

Passo 4. Substitua x = 4.1:

O valor real é \sqrt{4.1} = 2.024846\ldots, então a estimativa erra por cerca de 0.00015. Nada mal para uma conta de cabeça.

Exemplo resolvido 2: estimar a raiz cúbica de 27,3

Passo 1. Seja f(x) = x^{1/3}, então f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 2. 27 é um cubo perfeito perto de 27.3, então a = 27.

Passo 3. f(27) = 3. Para a inclinação, 27^{2/3} = 9, então f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}. A linearização é

Passo 4.

O valor real é cerca de 3.01109. A estimativa está correta até a quarta casa decimal.

Exemplo resolvido 3: estimar sen(0,1) e e^0,1

Para f(x) = \sin x em a = 0: f(0) = 0 e f'(0) = \cos 0 = 1, então L(x) = x. Portanto

O valor real é 0.09983\ldots Essa é a famosa aproximação para ângulos pequenos \sin x \approx x (com x em radianos), usada em toda parte na física, por exemplo no movimento de um pêndulo.

Para f(x) = e^x em a = 0: f(0) = 1 e f'(0) = 1, então L(x) = 1 + x e

comparado com o valor real 1.10517\ldots

Por excesso ou por falta? Use a concavidade

A segunda derivada diz de que lado da curva a reta tangente está:

• Se f''(a) < 0 (concavidade para baixo), a curva se curva abaixo da tangente, então L(x) é uma estimativa por excesso.
• Se f''(a) > 0 (concavidade para cima), a curva se curva acima da tangente, então L(x) é uma estimativa por falta.

Confira o exemplo 1: f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}, que é negativa em x = 4. Então 2.025 deveria ser grande demais, e é (2.025 > 2.02485). Para e^x, a segunda derivada é e^x > 0, então 1.1 é pequeno demais, o que bate com 1.1 < 1.10517.

Dica: questões de prova adoram perguntar "sua estimativa é por excesso ou por falta, e por quê?". A resposta é sempre sobre o sinal de f'' perto de a.

Diferenciais: a mesma ideia em outra notação

Escreva dx para uma pequena variação em x. O diferencial dy é a variação de altura ao longo da reta tangente:

A variação real da função é \Delta y = f(x + dx) - f(x). A aproximação linear diz que, para dx pequeno,

Isso é exatamente a linearização reorganizada: f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx. Os diferenciais são mais úteis quando a pergunta é sobre uma variação ou um erro, e não sobre um valor.

Exemplo resolvido 4: erro no volume de uma esfera

O raio de uma esfera é medido como 10 cm, com erro possível de \pm 0.1 cm. Estime o erro máximo no volume calculado.

Passo 1. Escreva a fórmula. V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 2. Calcule o diferencial. dV = 4\pi r^2\,dr.

Passo 3. Substitua r = 10 e dr = 0.1:

Passo 4. Erro relativo. O volume é V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8 cm³, então

Um erro de 1\% no raio vira um erro de cerca de 3\% no volume. O fator 3 vem do expoente em r^3, um padrão que vale a pena lembrar.

Exemplo resolvido 5: comparando dy com a variação real

Um quadrado tem lado s = 5 cm. Use diferenciais para estimar quanto sua área cresce quando o lado aumenta para 5.02 cm, e compare com a variação exata.

Passo 1. A = s^2, então dA = 2s\,ds.

Passo 2. Com s = 5 e ds = 0.02: dA = 2(5)(0.02) = 0.2 cm².

Passo 3. Variação exata. \Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004 cm².

O diferencial deixa de fora apenas o quadradinho do canto, (ds)^2 = 0.0004. Imagine o quadrado crescendo: duas faixas finas de área s\,ds cada formam dA, e o pedacinho do canto é o que a estimativa linear ignora. Essa sobra tem sempre o tamanho aproximado de (ds)^2, e é por isso que a aproximação é tão boa para variações pequenas.

Resumo rápido: aproximações lineares comuns perto de 0

Todas vêm de L(x) = f(0) + f'(0)x e funcionam melhor para x pequeno:

As duas últimas são a mesma regra. Por exemplo, (1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2, perto do valor real 1.219.

Erros comuns na aproximação linear

1. Escolher mal o a. Usar a = 0 para \sqrt{4.1} não funciona, já que \sqrt{x} nem é diferenciável em 0. Escolha sempre um ponto próximo onde os valores sejam exatos.
2. Substituir x na inclinação. A inclinação é o número f'(a), não a função f'(x). No exemplo 1, a inclinação é \frac{1}{4}, ponto final.
3. Esquecer o (x - a). Escrever L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1) não faz sentido. Você multiplica a inclinação pela distância até a, que é 0.1.
4. Usar graus em trigonometria. \sin x \approx x só funciona em radianos. \sin(5^\circ) é cerca de 0.087, não 5.
5. Confiar nela longe de a. A reta tangente se afasta da curva conforme você se afasta de a. \sqrt{9} \approx L(9) = 3.25 está visivelmente errado.

Por que a aproximação linear importa

A aproximação linear é mais do que um truque para raízes quadradas. Ela é a razão pela qual calculadoras, fórmulas da física e métodos numéricos funcionam: o método de Newton usa retas tangentes repetidamente para resolver equações, e os polinômios de Taylor (veja séries de Taylor) estendem a ideia de retas para parábolas e além. Ela também se conecta ao teorema do valor médio, que garante que alguma reta tangente tem exatamente a inclinação média.

Pratique estimativas com retas tangentes

Os passos são sempre os mesmos: escolha f, escolha um a amigável, encontre f(a) e f'(a) e substitua. Uma dúzia de exercícios costuma bastar para isso virar automático. A lição interativa abaixo dá feedback imediato sobre cada estimativa e mostra exatamente onde uma inclinação ou uma distância saiu errada.