Funções Piso e Teto: Gráficos, Limites, Derivada e Integral

A função piso \lfloor x\rfloor arredonda um número para baixo, até o inteiro mais próximo, e a função teto \lceil x\rceil o arredonda para cima. Seus gráficos parecem escadas, o que as torna os exemplos clássicos de funções definidas por partes com descontinuidades de salto. A função piso também é chamada de função maior inteiro e às vezes é escrita como [x] ou \operatorname{int}(x).

Definições

Atenção aos números negativos: arredondar -2.7 para baixo leva a -3, e não a -2.

Gráfico da função piso

Gráfico da função teto

Propriedades principais

• Imagem. As duas funções produzem apenas inteiros.
• Limitantes. x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1.
• Os inteiros ficam fixos. \lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n para qualquer inteiro n.
• Deslocamento por um inteiro. \lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n para qualquer inteiro n.
• Piso e teto estão ligados. \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor e, para um x não inteiro, \lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1.

Limites e continuidade

Entre inteiros a função piso é constante, então é contínua ali. Em um inteiro n os limites laterais são diferentes:

Logo \lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor não existe, e há um salto de tamanho 1. Como o limite à direita é igual a \lfloor n\rfloor, a função piso é contínua à direita. Na função teto acontece o contrário: \lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n e \lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1, então ela é contínua à esquerda. Para as definições formais, veja o guia de continuidade.

Exemplo: um limite no infinito. Calcule \lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}. Para x > 0, dividindo x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x por x, obtemos 1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1. Os dois limitantes tendem a 1, então, pelo Teorema do Confronto, o limite é 1.

Derivada da função piso

Em cada intervalo aberto (n, n+1) a função é a constante n, cuja derivada é 0. Em um inteiro a função não é contínua, então não é diferenciável. O mesmo vale para a função teto.

Integral da função piso

Cada intervalo unitário [k, k+1] contribui com um retângulo de altura k e largura 1, então basta somar áreas de retângulos, como em uma soma de Riemann que, neste caso, é exata. Para x \ge 0:

A mesma fórmula também vale para x negativo.

Exemplo. \int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5. A fórmula confirma: 3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5.

Exemplo com teto. \int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6, já que \lceil t\rceil vale 1 em (0, 1], 2 em (1, 2] e 3 em (2, 3]. Pontos isolados não alteram uma integral.

Erros comuns

1. Arredondar negativos em direção ao zero. \lfloor -1.2\rfloor = -2, e não -1.
2. Afirmar que o limite em um inteiro existe. Os limites à esquerda e à direita diferem por 1.
3. Colocar o ponto fechado na extremidade errada. Os degraus do piso são fechados à esquerda; os do teto são fechados à direita.
4. Derivar em um salto. A derivada é 0 apenas entre inteiros. Nos inteiros ela não existe.

Onde elas aparecem

Funções escada modelam tudo o que é cobrado em unidades inteiras: frete por quilo, estacionamento por hora ou faixas de imposto. No cálculo, são os exemplos preferidos para limites laterais e para funções integráveis mas não contínuas. Veja a estratégia geral em funções definidas por partes e compare com o bico da função módulo.