Função Módulo |x|: Gráfico, Derivada, Integral e Bico

A função módulo (ou função valor absoluto) f(x) = |x| dá a distância de x até 0 na reta numérica, então elimina qualquer sinal negativo: |3| = 3 e |-3| = 3. Seu gráfico em forma de V é o exemplo clássico de uma função contínua em todo ponto, mas com um ponto onde a derivada não existe.

Fórmula

É uma função definida por partes formada por duas funções afins. De forma equivalente, |x| = \sqrt{x^2}, o que a liga à função raiz quadrada.

Gráfico de |x|

A forma geral y = a|x - h| + k é um V com vértice (h, k), aberto para cima se a > 0 e para baixo se a < 0, com inclinações laterais \pm a.

Propriedades principais

• Domínio todos os reais; imagem [0, \infty).
• Função par: |-x| = |x|, simétrica em relação ao eixo y.
• Contínua em todo ponto, inclusive em 0.
• Mínimo absoluto igual a 0 em x = 0, que é um ponto crítico porque f'(0) não existe.
• Desigualdade triangular: |a + b| \le |a| + |b|.
• Produtos se separam, somas não: |ab| = |a||b|, mas |a + b| em geral não é |a| + |b|.

Derivada de |x|

Para x \ne 0:

Em x = 0, os limites laterais do quociente de Newton são

Eles são diferentes, então f'(0) não existe. Este é o caso clássico de quando a derivada não existe: um bico. Com a regra da cadeia, \frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) sempre que g(x) \ne 0.

Integral de |x|

Confira por partes: para x > 0 ela vale \frac{x^2}{2}, com derivada x = |x|; para x < 0 ela vale -\frac{x^2}{2}, com derivada -x = |x|. Numa integral definida, divida no ponto onde a expressão de dentro muda de sinal.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: integral definida. Calcule \int_{-1}^{2}|x|\,dx dividindo em 0:

Geometricamente, são dois triângulos com áreas \frac{1}{2} e 2.

Exemplo 2: um módulo deslocado. g(x) = |x - 3| tem derivada 1 para x > 3 e -1 para x < 3, e não é derivável em x = 3.

Exemplo 3: regra da cadeia. Para x \ne 2, \frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2, que vale 2 para x > 2 e -2 para x < 2.

Exemplo 4: um limite. \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x} não existe, porque vale 1 pela direita e -1 pela esquerda.

Erros comuns

1. Dizer que |x| não é contínua em 0. Ela é contínua; apenas não é derivável ali.
2. Escrever |{-x}| = -|x|. O módulo nunca é negativo: |-x| = |x|.
3. Integrar atravessando 0 sem dividir. \int_{-1}^{2}|x|\,dx não é \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}.
4. Esquecer que é um ponto crítico. Ao procurar extremos, inclua os pontos onde a derivada não existe, como o vértice de um V.

Como se conecta

O módulo aparece em \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, na definição épsilon-delta de limite e na convergência absoluta de séries nos testes de convergência. Para saber mais sobre bicos e outros pontos onde a derivada não existe, veja o guia de continuidade.