Teorema de Taylor: fórmula do resto e estimativa do erro

O teorema de Taylor diz que uma função suave é igual ao seu polinômio de Taylor mais um termo de erro, e dá a esse termo de erro uma forma exata. Isso transforma "o polinômio de Taylor é uma boa aproximação" em um número garantido de casas decimais corretas.

Enunciado do teorema de Taylor

Suponha que f tem derivadas até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I que contém a. Seja

o polinômio de Taylor de grau n de f em a. Então, para todo x em I, existe um número c entre a e x tal que

Essa é a forma de Lagrange do resto. Quando a = 0, o polinômio é chamado de polinômio de Maclaurin.

Desigualdade de Taylor (a estimativa do erro)

Você quase nunca conhece c, então limita a derivada. Se |f^{(n+1)}(t)| \le M para todo t entre a e x, então

A cota fica pequena rapidamente porque (n+1)! cresce mais rápido que qualquer potência.

O que o teorema de Taylor significa

O resto se parece exatamente com o próximo termo da série de Taylor, só que a derivada é calculada em algum ponto c em vez de em a. Para n = 0 o enunciado é f(x) = f(a) + f'(c)(x - a), que é o Teorema do Valor Médio. O teorema de Taylor é a versão de ordem superior.

Por que as hipóteses importam

Derivadas suficientes. A fórmula do resto usa f^{(n+1)}. Para f(x) = |x| em a = 0, f'(0) não existe, então não há nem sequer um polinômio de Taylor de grau 1.

Um resto que não diminui. O teorema de Taylor sempre vale quando suas hipóteses valem, mas não promete que o erro tende a 0. A função f(x) = e^{-1/x^2} (com f(0) = 0) tem todas as derivadas iguais a 0 em x = 0, então todo polinômio de Taylor em 0 é o polinômio nulo. O resto R_n(x) = f(x) nunca diminui, e a série de Taylor converge para 0, não para f. Uma função é igual à sua série de Taylor só quando R_n(x) \to 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: aproxime e com P_4 e estime o erro.

Passo 1. Para f(x) = e^x em a = 0, toda derivada é e^x e vale 1 em 0. Então

Passo 2. Em [0, 1], f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3, então tome M = 3.

Passo 3. |R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025.

O erro verdadeiro é e - 2.70833 \approx 0.00995, bem dentro da cota.

Exemplo 2: \sin(0.1) com alta precisão.

O polinômio de Maclaurin P_3(x) = x - \frac{x^3}{6} dá \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333. Como o coeficiente de x^4 do seno é 0, P_4 = P_3, então podemos usar R_4. Toda derivada de \sin é limitada por M = 1:

Logo 0.0998333 está correto em pelo menos seis casas decimais.

Exemplo 3: quantos termos para e^{0.5} com erro menor que 0.001?

Em [0, 0.5], e^t \le e^{0.5} < 2, então |R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}.

A cota fica abaixo de 0.001 pela primeira vez em n = 4, então P_4(0.5) é preciso o suficiente.

Erros comuns

1. Usar (n)! em vez de (n+1)!. O resto depois de um polinômio de grau n usa a derivada de ordem (n+1) e (n+1)!.
2. Limitar a derivada só em a. M precisa limitar |f^{(n+1)}| em todo o intervalo entre a e x.
3. Supor que a série de Taylor é sempre igual a f. Ela só é quando o resto tende a 0.

Teoremas e guias relacionados

O teorema de Taylor generaliza o Teorema do Valor Médio. Para construir os próprios polinômios e séries, veja série de Taylor e séries de potências. Em várias variáveis, a expansão de Taylor de segunda ordem usa derivadas parciais mistas, que, segundo o teorema de Clairaut, podem ser calculadas em qualquer ordem.