Teorema do Valor Médio (TVM): enunciado, gráfico e exemplos

O Teorema do Valor Médio (TVM), também chamado de teorema de Lagrange, diz que, para uma função suave, a taxa de variação média em um intervalo é atingida como taxa de variação instantânea em algum ponto dentro dele. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à reta secante que liga as extremidades.

Enunciado do Teorema do Valor Médio

Suponha que f satisfaz as duas hipóteses:

1. f é contínua no intervalo fechado [a, b];
2. f é diferenciável no intervalo aberto (a, b).

Então existe pelo menos um número c em (a, b) tal que

De forma equivalente, f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Essa segunda forma é a usada em demonstrações: ela converte informação sobre a derivada em informação sobre a função.

O que o TVM significa

A fração \frac{f(b) - f(a)}{b - a} é a inclinação da reta secante, a taxa de variação média. f'(c) é a inclinação da tangente, uma taxa de variação instantânea. O TVM diz que as duas coincidem em algum ponto. Se a sua velocidade média em uma viagem foi de 60 km/h, em algum instante você estava a exatamente 60 km/h.

Por que cada hipótese importa

Diferenciabilidade. Tome f(x) = |x| em [-1, 2]. Ela é contínua, e a inclinação da secante é \frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}. Mas f'(x) vale -1 para x < 0 e 1 para x > 0, nunca \frac{1}{3}. O culpado é o bico em 0.

Continuidade. Tome f(x) = \frac{1}{x} em [-1, 1]. A inclinação da secante é \frac{1 - (-1)}{2} = 1, mas f'(x) = -\frac{1}{x^2} é sempre negativa. A função não é contínua em 0, então o TVM não se aplica.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: encontre c para f(x) = x^3 em [0, 2].

Passo 1. f é um polinômio, então as duas hipóteses valem.

Passo 2. Inclinação média: \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4.

Passo 3. Resolva f'(c) = 3c^2 = 4, o que dá c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}. Só c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 está em (0, 2).

Exemplo 2: encontre c para f(x) = \sqrt{x} em [1, 4].

f é contínua em [1, 4] e diferenciável em (1, 4). A inclinação média é \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}. Resolva

e \frac{9}{4} = 2.25 está em (1, 4).

Exemplo 3: limitando uma função. Suponha que f(0) = 1 e f'(x) \le 3 para todo x. Qual o maior valor possível de f(2)?

Pelo TVM em [0, 2], f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2 para algum c. Como f'(c) \le 3,

Você descobre algo sobre f(2) sem conhecer a função. É assim que o TVM é usado em demonstrações e em estimativas de erro da aproximação linear.

Consequências importantes

• Derivada nula significa função constante. Se f'(x) = 0 em um intervalo, então para quaisquer dois pontos f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0, logo f é constante.
• Mesma derivada significa diferença constante. Se f' = g', então f - g é constante. É por isso que toda primitiva tem um + C.
• O sinal de f' dá a monotonicidade. Se f' > 0 em um intervalo, f é crescente ali, que é a base do teste da derivada primeira.

Erros comuns

1. Responder com um c fora de (a, b). Resolva f'(c) = \text{slope} e depois descarte as raízes que não estão no intervalo aberto.
2. Pular a verificação das hipóteses. Para funções com raízes, valores absolutos ou frações, verifique primeiro a continuidade e a diferenciabilidade.
3. Achar que o TVM localiza c. Ele só garante que esse ponto existe. Em muitas aplicações, como no Exemplo 3, você nunca chega a encontrar c.

Teoremas relacionados

O TVM é demonstrado a partir do teorema de Rolle subtraindo a reta secante de f. Seu irmão para integrais é o Teorema do Valor Médio para integrais, e o teorema de Taylor é uma versão de ordem superior. Para mais aplicações e prática, leia o guia completo do Teorema do Valor Médio.