Antiderivadas: potência inversa, +C e problemas de valor inicial
Aprenda a encontrar antiderivadas: a regra da potência inversa, uma tabela de integrais básicas, por que somar +C e como resolver problemas de valor inicial.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
Nesta página
- O que é uma antiderivada?
- Por que somamos +C?
- A regra da potência inversa
- Tabela de antiderivadas básicas
- Exemplo resolvido 1: um polinômio
- Exemplo resolvido 2: raízes e frações
- Exemplo resolvido 3: simplifique primeiro
- Exemplo resolvido 4: trigonométricas e exponenciais
- Como conferir qualquer antiderivada
- Problemas de valor inicial: encontrando o C exato
- Erros comuns com antiderivadas
- Pratique até ficar automático
Você deriva x^3 até dormindo. Agora a pergunta vai no sentido contrário: qual função tem derivada 3x^2? Essa pergunta inversa é o começo do cálculo integral, e as respostas, chamadas antiderivadas (ou primitivas), vêm de aplicar ao contrário as regras de derivação que você já conhece.
O que é uma antiderivada?
Uma função F é uma antiderivada de f se
Por exemplo, F(x) = x^3 é uma antiderivada de f(x) = 3x^2, porque \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.
Mas x^3 + 1 e x^3 - 8 também servem. Qualquer constante desaparece quando você deriva. Por isso escrevemos a integral indefinida, que reúne todas as antiderivadas de uma vez:
O sinal \int e o dx funcionam juntos como parênteses: o dx diz que a variável é x, e tudo o que está entre eles é a função que você está integrando (o integrando).
Por que somamos +C?
Se F'(x) = f(x), então (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x) para toda constante C. Assim, uma antiderivada gera infinitas outras, todas deslocamentos verticais umas das outras. (O teorema do valor médio prova que, em um intervalo, não existem outras: duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante.)
Esquecer o +C não é um detalhe de estilo. Significa que você encontrou apenas um membro da família e, em um problema de valor inicial, torna impossível acertar a resposta.
A regra da potência inversa
A regra da potência diz que \frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n. Divida os dois lados por n + 1 e leia ao contrário:
Em palavras: some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente.
A regra falha em n = -1 porque você dividiria por zero. Esse caso tem resposta própria:
O módulo faz a fórmula funcionar também para x negativo.
Mais duas regras tornam a maioria dos problemas rotineira. Constantes saem da integral, e somas se separam:
Tabela de antiderivadas básicas
Cada linha é uma regra de derivação lida ao contrário. Confira qualquer linha derivando o lado direito.
| Função f(x) | Antiderivada \int f(x)\,dx |
|---|---|
| k (uma constante) | kx + C |
| x^n, n \ne -1 | \frac{x^{n+1}}{n+1} + C |
| \frac{1}{x} | \ln\lvert x\rvert + C |
| e^x | e^x + C |
| a^x | \frac{a^x}{\ln a} + C |
| \cos x | \sin x + C |
| \sin x | -\cos x + C |
| \sec^2 x | \tan x + C |
| \sec x \tan x | \sec x + C |
| \frac{1}{1 + x^2} | \arctan x + C |
| \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} | \arcsin x + C |
Atenção aos sinais nas linhas trigonométricas. A derivada de \cos x é -\sin x, então a antiderivada de \sin x é -\cos x.
Exemplo resolvido 1: um polinômio
Calcule \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx.
Passo 1. Separe em termos. Integre 3x^2, -4x e 5 separadamente.
Passo 2. Regra da potência inversa em cada um.
- \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
- \int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
- \int 5\,dx = 5x
Passo 3. Some uma única constante.
Verificação: \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5. Um único +C no final basta, já que várias constantes somadas formam uma só constante.
Exemplo resolvido 2: raízes e frações
Calcule \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx.
Passo 1. Reescreva como potências. \sqrt{x} = x^{1/2} e \frac{1}{x^2} = x^{-2}.
Passo 2. Regra da potência inversa.
- \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}
- \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
Passo 3. Junte tudo.
Dividir por uma fração como \frac{3}{2} é o mesmo que multiplicar por \frac{2}{3}. Esse passo confunde muita gente.
Exemplo resolvido 3: simplifique primeiro
Calcule \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx.
Não existe regra do quociente para integrais, então simplifique antes de integrar. Divida cada termo por x:
Agora integre termo a termo:
Exemplo resolvido 4: trigonométricas e exponenciais
Calcule \int (2\cos x - 3e^x)\,dx.
Pela tabela, \int \cos x\,dx = \sin x e \int e^x\,dx = e^x:
Verificação: \frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x.
Mais duas linhas da tabela em ação: calcule \int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx. Cada termo é uma linha da tabela com uma constante na frente:
Como conferir qualquer antiderivada
Integrar é difícil; derivar é fácil. Por isso toda antiderivada vem com uma verificação de graça: derive a sua resposta e veja se você recupera o integrando. Se \frac{d}{dx}F(x) = f(x), você acertou, não importa o método usado.
Isso pega quase todos os deslizes. Suponha que você escreveu \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} e depois simplificou para \frac{1}{2}\sqrt{x}. Derivando, você obtém \frac{1}{4}x^{-1/2}, que não é x^{-1/2}, então sabe que algo deu errado (a resposta correta é 2\sqrt{x} + C). Faça dessa verificação um hábito em todo exercício até as regras ficarem automáticas.
Problemas de valor inicial: encontrando o C exato
Um problema de valor inicial dá uma derivada e um ponto da função original. O ponto escolhe exatamente uma curva da família F(x) + C.
Exemplo resolvido 5: encontre f a partir de f' e de um ponto
Encontre f(x) se f'(x) = 6x^2 - 2x e f(1) = 4.
Passo 1. Integre.
Passo 2. Use o ponto. Substitua x = 1 e f(1) = 4:
Passo 3. Escreva a resposta.
Exemplo resolvido 6: movimento a partir da aceleração
Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do chão a 48 ft/s. Sua aceleração é a(t) = -32 ft/s². Encontre a altura s(t) e a altura máxima.
Passo 1. Velocidade. v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1. No lançamento, v(0) = 48, então C_1 = 48 e v(t) = -32t + 48.
Passo 2. Posição. s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2. Ela parte do chão, s(0) = 0, então C_2 = 0:
Passo 3. Altura máxima. A bola atinge o ponto mais alto quando v(t) = 0, em t = 1.5 s. Então s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36 ft.
Cada antiderivada precisou de sua própria constante, e cada uma foi determinada por sua própria condição inicial.
Exemplo resolvido 7: partindo da segunda derivada
Encontre f(x) se f''(x) = 12x, f'(0) = 1 e f(0) = 2.
Passo 1. f'(x) = 6x^2 + C_1. Como f'(0) = 1, C_1 = 1, então f'(x) = 6x^2 + 1.
Passo 2. f(x) = 2x^3 + x + C_2. Como f(0) = 2, C_2 = 2.
Verificação: f'(x) = 6x^2 + 1 e f''(x) = 12x, com f'(0) = 1 e f(0) = 2. Duas integrações sempre precisam de duas condições.
Erros comuns com antiderivadas
- Esquecer o +C. Custa pontos nas integrais indefinidas e arruína os problemas de valor inicial.
- Usar a regra da potência inversa em \frac{1}{x}. \frac{x^0}{0} não está definido. A resposta é \ln|x| + C.
- Integrar produtos ou quocientes parte por parte. \int x \cdot x^2\,dx não é \frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}. Multiplique primeiro para obter \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C.
- Erros de sinal com trigonométricas. \int \sin x\,dx = -\cos x + C, e não \cos x + C.
- Não reescrever raízes e frações. \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx parece difícil até você escrever como \int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C.
Quando o integrando é uma função composta, como (3x + 1)^5, a tabela básica não basta. Esse é o trabalho da substituição (mudança de variável). E as antiderivadas são exatamente o que você precisa para calcular áreas com o Teorema Fundamental do Cálculo.
Pratique até ficar automático
As antiderivadas são a base de todas as integrais que você vai calcular, então ganhar velocidade aqui compensa pelo resto do curso. Faça a lição interativa abaixo: cada resposta é corrigida na hora, constantes esquecidas são apontadas e toda resolução é mostrada passo a passo.
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A regra da potência ao contrário
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