Teorema Fundamental do Cálculo: partes 1 e 2 com exemplos

Calcular a área sob y = x^2 com somas de Riemann exige uma página de álgebra e um limite. O Teorema Fundamental do Cálculo faz isso em uma linha: \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}. É por causa dele que as integrais são práticas, e ele une as duas metades do cálculo num único assunto.

O que o Teorema Fundamental do Cálculo diz

Em linguagem simples: derivação e integração são processos inversos. O teorema tem duas partes, uma para cada sentido.

Parte 1 (derivada de uma integral). Se f é contínua em [a, b], então a função área g(x) = \int_a^x f(t)\,dt é diferenciável e

Parte 2 (cálculo de integrais). Se f é contínua em [a, b] e F é qualquer antiderivada de f (ou seja, F' = f), então

Escrevemos F(b) - F(a) de forma abreviada como \Big[F(x)\Big]_a^b.

A maioria dos livros numera as partes assim, embora alguns troquem os rótulos. O que importa é reconhecer qual tarefa você está fazendo: calcular um número ou derivar uma integral.

Por que funciona: a área se acumula a uma taxa igual à altura

Imagine a área sob y = f(t) de a até x, e empurre x um pouquinho para a direita, de h. A área extra é uma faixa fina de largura h e altura aproximada f(x), então

Quando h \to 0, isso vira g'(x) = f(x): a taxa com que a área cresce é a altura da curva. Essa é a parte 1. A parte 2 vem em seguida: g é uma antiderivada de f, qualquer outra antiderivada F difere dela por uma constante, e \int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a).

Como calcular uma integral definida (parte 2 do TFC)

1. Encontre uma antiderivada F(x). Dispense o +C, ele se cancela.
2. Calcule F(b), no limite superior.
3. Calcule F(a), no limite inferior.
4. Subtraia: F(b) - F(a).

Exemplo resolvido 1: um polinômio

Calcule \int_0^2 x^2\,dx.

Passo 1. Uma antiderivada de x^2 é \frac{x^3}{3}.

Passo 2. F(2) = \frac{8}{3}.

Passo 3. F(0) = 0.

Passo 4.

Esse é exatamente o limite das somas de Riemann calculado pelo caminho longo, sem precisar de notação de somatório.

Exemplo resolvido 2: raízes e constantes

Calcule \int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx.

Passo 1. Escreva 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}. Sua antiderivada é 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}, e a antiderivada de -2 é -2x. Então F(x) = 2x^{3/2} - 2x.

Passo 2. F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8.

Passo 3. F(1) = 2(1) - 2(1) = 0.

Passo 4.

Exemplo resolvido 3: a área sob um arco do seno

Calcule \int_0^{\pi} \sin x\,dx.

Passo 1. Uma antiderivada de \sin x é -\cos x.

Passos 2 a 4.

Os dois sinais de menos são onde a maioria dos erros acontece. Escreva os colchetes por extenso, como acima, todas as vezes.

Exemplo resolvido 4: um logaritmo

Calcule \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

Exemplo resolvido 5: exponenciais e uma constante que não some

Calcule \int_0^1 (e^x + 2x)\,dx.

Passo 1. Uma antiderivada é F(x) = e^x + x^2.

Passo 2. F(1) = e + 1.

Passo 3. F(0) = e^0 + 0 = 1. Atenção aqui: e^0 é 1, não 0, então o limite inferior não desaparece.

Passo 4.

Área com sinal: quando a integral é negativa

Uma integral definida conta a área acima do eixo x como positiva e a área abaixo como negativa. Por exemplo,

O arco acima do eixo (área 2) cancela o arco abaixo (área 2). Se a questão pedir a área total, e não a integral, divida nos zeros e some os valores absolutos: 2 + 2 = 4.

Exemplo resolvido 6: deslocamento e distância percorrida

A mesma ideia aparece em problemas de movimento, em que a parte 2 costuma ser chamada de teorema da variação total: integrar uma taxa dá a variação total. Uma partícula se move com velocidade v(t) = 3t^2 - 6t m/s. Encontre seu deslocamento e a distância total percorrida de t = 0 até t = 3.

Passo 1. Deslocamento. Uma antiderivada de v é t^3 - 3t^2, então

A partícula termina onde começou.

Passo 2. Descubra onde ela inverte o sentido. v(t) = 3t(t - 2) é negativa em (0, 2) e positiva em (2, 3).

Passo 3. Distância. Integre |v| dividindo em t = 2:

Ela se move 4 m para trás e depois 4 m para a frente, então a distância total é 8 m, embora o deslocamento seja 0.

Derivadas de integrais (parte 1 do TFC)

A parte 1 permite derivar uma integral sem calculá-la, o que importa quando o integrando não tem antiderivada simples.

Exemplo resolvido 7: x no limite superior

Encontre \frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt.

Não existe antiderivada simples de \sqrt{t^3 + 1}, e você não precisa de uma. Pela parte 1, troque t por x:

O limite inferior 1 não importa. Mudá-lo só desloca a função área por uma constante.

Exemplo resolvido 8: uma função no limite superior

Encontre \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Aqui o limite superior é u = x^2, então a regra da cadeia acrescenta um fator u' = 2x:

Confira calculando primeiro: \int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2), e \frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2). Confere.

A regra geral é

Exemplo resolvido 9: x no limite inferior

Encontre \frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt.

Passo 1. Inverta os limites. Trocar os limites muda o sinal: \int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt.

Passo 2. Aplique a parte 1.

Se os dois limites dependem de x, divida a integral numa constante: \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x).

Referência rápida

Erros comuns com o Teorema Fundamental

1. Subtrair na ordem errada. É F(\text{cima}) - F(\text{baixo}). Inverter muda o sinal da resposta.
2. Esquecer parênteses com negativos. No exemplo 3, (-\cos\pi) - (-\cos 0) precisa de todos os parênteses. Escrever -\cos\pi - \cos 0 dá 0 em vez de 2.
3. Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt é 2x\cos(x^2), e não \cos(x^2).
4. Integrar quando a parte 1 se aplica. Se a questão pede a derivada de uma integral, raramente é preciso encontrar uma antiderivada.
5. Confundir integral com área total. Se a curva desce abaixo do eixo, \int_a^b f não é a área. Divida nos zeros.
6. Aplicar o teorema sobre uma descontinuidade. \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx não é \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2. O integrando explode em 0, então o teorema não se aplica. Isso é uma integral imprópria.

Pratique o cálculo de integrais

Depois que o teorema faz sentido, toda integral definida vira uma antiderivada mais uma aritmética cuidadosa. A maioria dos erros é de sinal, então repetir com feedback é o caminho mais rápido para ganhar confiança. A lição interativa abaixo confere cada resposta na hora e mostra todo o trabalho com os colchetes sempre que um sinal escapa. Para integrandos mais difíceis, o próximo passo é a substituição (mudança de variável).