Teorema do Valor Médio: enunciado, teorema de Rolle e como achar c

O professor escreve "verifique que o Teorema do Valor Médio se aplica e encontre todos os valores de c", e o teorema parece uma afirmação abstrata de existência sem utilidade óbvia. Na verdade, o Teorema do Valor Médio diz algo em que você já acredita sobre dirigir, e achar c leva umas quatro linhas de álgebra depois que você enxerga o padrão.

O que diz o Teorema do Valor Médio

O Teorema do Valor Médio (TVM) diz que, em qualquer trecho suave de uma função, a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média pelo menos uma vez.

Formalmente: se f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), então existe pelo menos um número c com a < c < b tal que

O lado direito é a inclinação da reta secante que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)), a taxa de variação média. O lado esquerdo é a inclinação da reta tangente em c, a taxa de variação instantânea. Então o teorema diz: em algum lugar entre a e b, a reta tangente é paralela à reta secante.

Uma versão da vida real: você dirige 120 km em exatamente 2 horas. Sua velocidade média é de 60 km/h. Você não pode ter ficado abaixo de 60 o tempo todo (não teria chegado) nem acima de 60 o tempo todo (teria ido mais longe). Então em algum instante sua velocidade foi exatamente 60 km/h.

O Teorema do Valor Médio no gráfico

Deslize a reta secante para o lado sem girá-la. Antes de ela sair completamente da curva, ela encosta na curva num único ponto. Esse ponto de tangência é c.

Como achar c no Teorema do Valor Médio

1. Verifique as hipóteses. f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b)? Polinômios, \sin, \cos e e^x sempre são. Fique atento a denominadores que se anulam, raízes de números negativos e módulos.
2. Calcule a inclinação média \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
3. Iguale f'(c) a essa inclinação e resolva para c.
4. Fique só com as soluções com a < c < b. Descarte tudo o que estiver fora ou nas extremidades.

Exemplo resolvido 1: uma parábola

Encontre c para f(x) = x^2 em [1, 3].

Passo 1. f é um polinômio, então as hipóteses valem.

Passo 2. f(1) = 1 e f(3) = 9, então a inclinação média é

Passo 3. f'(x) = 2x, então 2c = 4 e c = 2.

Passo 4. 2 está em (1, 3). Então c = 2.

Para qualquer parábola, c é sempre o ponto médio do intervalo. Isso dá uma boa conferência.

Exemplo resolvido 2: uma cúbica (o gráfico acima)

Encontre todos os c para f(x) = x^3 - x em [0, 2].

Passo 1. Polinômio, então as hipóteses valem.

Passo 2. f(0) = 0 e f(2) = 8 - 2 = 6, então a inclinação média é \frac{6 - 0}{2 - 0} = 3.

Passo 3. f'(x) = 3x^2 - 1. Iguale a 3:

Passo 4. -\frac{2}{\sqrt{3}} está fora de (0, 2), então descarte. A resposta é c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155.

Exemplo resolvido 3: uma raiz quadrada

Encontre c para f(x) = \sqrt{x} em [0, 4].

Passo 1. \sqrt{x} é contínua em [0, 4]. Não é diferenciável em 0 (a tangente ali é vertical), mas o teorema só exige diferenciabilidade no intervalo aberto (0, 4), e isso vale.

Passo 2. Inclinação média: \frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 3. f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, então

Passo 4. 1 está em (0, 4). Então c = 1.

Teorema de Rolle: o caso particular

O teorema de Rolle é o Teorema do Valor Médio quando as extremidades estão na mesma altura. Se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f(a) = f(b), então existe um c em (a, b) com

A reta secante é horizontal, então a tangente paralela também é horizontal. Imagine jogar uma bola para cima e pegá-la na mesma altura: no ponto mais alto, a velocidade dela é zero.

Exemplo resolvido 4: teorema de Rolle

Verifique o teorema de Rolle para f(x) = x^2 - 4x + 3 em [1, 3] e encontre c.

Passo 1. Polinômio, então contínua e diferenciável em toda parte.

Passo 2. Confira as extremidades: f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 e f(3) = 9 - 12 + 3 = 0. Elas coincidem.

Passo 3. f'(x) = 2x - 4 = 0 dá c = 2, que está em (1, 3).

Outro clássico: f(x) = \sin x em [0, \pi] tem f(0) = f(\pi) = 0, e f'(c) = \cos c = 0 em c = \frac{\pi}{2}, o topo do arco.

Quando o Teorema do Valor Médio não se aplica

As duas hipóteses importam. Aqui estão duas funções em que a conclusão falha porque uma hipótese falha.

Um bico. f(x) = |x| em [-1, 1]. As duas extremidades valem 1, então a inclinação média é 0. Mas f'(x) é -1 ou 1 em toda parte, exceto em x = 0, onde não existe. Nenhum c serve, porque |x| não é diferenciável em 0.

Uma quebra. f(x) = \frac{1}{x} em [-1, 1]. A inclinação média é \frac{1 - (-1)}{2} = 1, mas f'(x) = -\frac{1}{x^2} é sempre negativa. Nenhum c serve, porque f nem está definida (muito menos é contínua) em 0.

Dica: quando a questão perguntar se o TVM se aplica, diga qual é o ponto e qual é a hipótese que falha. "Não é diferenciável em x = 0" vale pontos; "não funciona" não vale.

Por que o Teorema do Valor Médio importa

O TVM é a ponte entre a derivada e a variação real, e ele prova resultados que você usa o tempo todo:

• Derivada nula significa constante. Se f'(x) = 0 num intervalo, então f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0 para quaisquer a, b, então f nunca muda. É por isso que duas antiderivadas da mesma função diferem por uma constante C.
• Derivada positiva significa crescente. Se f' > 0, então f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0 sempre que b > a. Isso sustenta o esboço de gráficos.
• Limitações. Suponha que f(0) = 2 e f'(x) \le 5 para todo x. Quão grande f(3) pode ser? Pelo TVM, f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15, então f(3) \le 17.

Resumo rápido

Erros comuns com o Teorema do Valor Médio

1. Pular a verificação das hipóteses. Muitas questões são feitas de modo que o teorema não se aplique. Sempre procure bicos, assíntotas e problemas de domínio primeiro.
2. Ficar com as soluções erradas. No exemplo 2, c = -\frac{2}{\sqrt{3}} resolve a equação, mas não está em (0, 2). O intervalo faz parte da resposta.
3. Confundir f com f'. Você iguala a derivada em c à inclinação média, não f(c).
4. Achar que o teorema diz onde c está. Ele só garante a existência. Você encontra c resolvendo.
5. Exigir diferenciabilidade nas extremidades. Só o intervalo aberto importa, e é por isso que \sqrt{x} em [0, 4] não tem problema.

Pratique achar c

O TVM vira rotina rápido: verificar, calcular a inclinação, resolver, filtrar. A lição interativa abaixo traz funções para testar, pega as soluções que caem fora do intervalo e explica a correção sempre que um passo dá errado. Depois de algumas rodadas, você vai enxergar uma hipótese que falha num relance.