Taxas relacionadas: método passo a passo com escada e cone
Resolva problemas de taxas relacionadas com um método claro: escada deslizando, balão inflando e cone enchendo, resolvidos por completo, e os erros a evitar.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
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Ar é bombeado para dentro de um balão a uma taxa constante. O raio também cresce a uma taxa constante? Não, e descobrir exatamente com que rapidez ele cresce é um problema de taxas relacionadas. Esses problemas assustam muitos estudantes porque têm enunciados longos, mas todos seguem a mesma receita curta. Depois que você a enxerga, a escada, o balão e o cone são o mesmo problema com fantasias diferentes.
O que são taxas relacionadas?
Num problema de taxas relacionadas, duas ou mais grandezas variam com o tempo e estão amarradas por uma equação. Você sabe a rapidez com que uma delas varia e quer a rapidez com que outra varia num instante específico.
A ferramenta é a derivação implícita em relação ao tempo. Se x e y dependem ambos de t, a regra da cadeia dá, por exemplo,
Cada variável ganha sua própria taxa. É essa única equação que faz as taxas ficarem "relacionadas".
O método das taxas relacionadas
- Faça um desenho e rotule com uma variável cada grandeza que varia. Rotule as constantes com seus valores.
- Liste o que você sabe e o que quer, como taxas: por exemplo, "sei \frac{dx}{dt} = 2, quero \frac{dy}{dt} quando x = 6".
- Escreva uma equação que relacione as variáveis (Pitágoras, uma fórmula de volume, semelhança de triângulos).
- Derive os dois lados em relação a t.
- Substitua os valores no instante pedido e resolva para a taxa desconhecida. Inclua as unidades e confira o sinal.
A regra mais importante está nos passos 4 e 5: primeiro derive, depois substitua.
Exemplo resolvido 1: a escada deslizando
Uma escada de 10 metros está apoiada numa parede. A base escorrega para longe da parede a 2 metros por segundo. Com que rapidez o topo desliza para baixo quando a base está a 6 metros da parede?
Passo 1. Desenho. Seja x a distância da parede até a base da escada e y a altura do topo. O comprimento da escada, 10, é constante.
Passo 2. Sei e quero. Sei \frac{dx}{dt} = 2 m/s. Quero \frac{dy}{dt} quando x = 6.
Passo 3. Equação. A parede, o chão e a escada formam um triângulo retângulo:
Passo 4. Derive em relação a t.
Passo 5. Substitua e resolva. Quando x = 6, a equação dá y = \sqrt{100 - 36} = 8. Então
Resposta: o topo desliza para baixo a 1,5 metro por segundo. O sinal negativo significa que a altura está diminuindo, o que bate com o desenho.
O gráfico mostra algo que a fórmula esconde. A curva fica mais íngreme quando x se aproxima de 10, então, mesmo com a base se movendo a constantes 2 m/s, o topo cai cada vez mais rápido perto do fim.
Exemplo resolvido 2: o balão inflando
Ar é bombeado para dentro de um balão esférico a 100 centímetros cúbicos por segundo. Com que rapidez o raio está aumentando quando o raio mede 5 cm?
Passo 1. Desenho. Uma esfera de raio r e volume V, ambos variando.
Passo 2. Sei e quero. Sei \frac{dV}{dt} = 100 cm³/s. Quero \frac{dr}{dt} quando r = 5.
Passo 3. Equação. O volume da esfera:
Passo 4. Derive em relação a t.
Passo 5. Substitua e resolva.
Resposta: nesse instante, o raio cresce cerca de 0,32 cm por segundo.
Isso responde à pergunta do início. Resolver o passo 4 de forma geral dá \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^2} = \frac{25}{\pi r^2}, que diminui quando r cresce. O ar entra a uma taxa constante, mas precisa se espalhar por uma superfície cada vez maior, então o raio cresce mais devagar.
Dá para levar o mesmo exemplo mais longe. A área da superfície é S = 4\pi r^2, então \frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt} = 8\pi(5)\cdot\frac{1}{\pi} = 40 cm²/s nesse mesmo instante.
Exemplo resolvido 3: enchendo um tanque em forma de cone
Um tanque é um cone de cabeça para baixo, com 12 metros de altura e raio de 4 metros no topo. A água entra a 2 metros cúbicos por minuto. Com que rapidez o nível da água sobe quando a água tem 6 metros de profundidade?
Passo 1. Desenho. A água forma um cone menor, com profundidade h e raio da superfície r, ambos variando.
Passo 2. Sei e quero. Sei \frac{dV}{dt} = 2 m³/min. Quero \frac{dh}{dt} quando h = 6.
Passo 3. Equação. O volume do cone é V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, que tem duas variáveis que mudam. Elimine r com semelhança de triângulos: o cone de água tem o mesmo formato do tanque, então
Substitua essa relação (ela vale em todo instante, então é seguro usá-la agora):
Passo 4. Derive em relação a t.
Passo 5. Substitua e resolva. Com h = 6:
Resposta: o nível da água sobe cerca de 0,16 metro por minuto, ou seja, uns 16 centímetros por minuto.
Dica: em problemas com cone, elimine o raio com semelhança de triângulos antes de derivar. Caso contrário, você fica com \frac{dr}{dt} e \frac{dh}{dt} e uma única equação.
Erros comuns: substituir cedo demais, e outros
1. Substituir os números antes de derivar. Esse é o maior de todos. No problema da escada, suponha que você substitua x = 6 primeiro:
Derivar agora dá 2y\frac{dy}{dt} = 0, então \frac{dy}{dt} = 0. Isso diz que o topo da escada não se move, o que é absurdo. Ao substituir x = 6, você congelou x e apagou \frac{dx}{dt}. Os valores no "instante pedido" são uma fotografia; substitua-os só depois de calcular a derivada.
A exceção é uma constante de verdade. O comprimento da escada, 10, e as dimensões do tanque, 4 e 12, nunca mudam, então você pode usá-los desde o começo. A relação r = \frac{h}{3} também é segura, porque vale em todo instante.
2. Esquecer um fator de taxa. \frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}, não 3r^2. Toda variável que muda carrega sua própria taxa.
3. Sinais errados. Se uma grandeza está diminuindo (um tanque esvaziando, o topo de uma escada caindo), sua taxa é negativa. Coloque-a assim e confira o sinal da resposta com o desenho.
4. Valores faltando. No problema da escada você recebe x, mas também precisa de y. Use a equação original para encontrá-lo.
5. Misturar unidades. Taxas têm unidades como m/s ou cm³/s. Se uma taxa estiver em minutos e outra em segundos, converta antes de substituir.
Resumo rápido
| Tipo de problema | Equação | Depois de derivar |
|---|---|---|
| Escada, distância | x^2 + y^2 = L^2 | x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0 |
| Volume da esfera | V = \frac{4}{3}\pi r^3 | \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} |
| Área do círculo | A = \pi r^2 | \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} |
| Cone, r = kh | V = \frac{1}{3}\pi k^2 h^3 | \frac{dV}{dt} = \pi k^2 h^2\frac{dh}{dt} |
| Cilindro, r fixo | V = \pi r^2 h | \frac{dV}{dt} = \pi r^2\frac{dh}{dt} |
Ganhe confiança com a prática
Taxas relacionadas só parecem difíceis até o método virar hábito: desenho, equação, derivar e depois substituir. A lição interativa abaixo divide cada problema nesses passos e dá feedback imediato, para você aprender a pegar uma substituição precoce ou uma taxa esquecida antes que isso custe pontos numa prova.
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