Lineare Approximation: Schätzen mit der Tangente und Differentiale

Du brauchst \sqrt{4.1}, \sin(0.1) oder den Volumenfehler einer gemessenen Kugel und hast keinen Taschenrechner (oder er ist in der Klausur nicht erlaubt). Die lineare Approximation macht daraus eine Zeile Rechnung, indem sie die Tangente an die Stelle der Kurve setzt. Auf derselben Idee beruhen auch Fehlerabschätzungen in Physik und Technik.

Was ist lineare Approximation?

Zoomst du weit genug in eine glatte Kurve hinein, sieht sie aus wie eine Gerade. Diese Gerade ist die Tangente. Lineare Approximation bedeutet, mit der Tangente an einer Stelle a die Funktionswerte an benachbarten Stellen zu schätzen.

Die Tangente bei x = a heißt Linearisierung von f an der Stelle a:

und für x nahe bei a gilt

Lies die Formel so: Starte bei der bekannten Höhe f(a) und bewege dich dann entlang der Tangente mit der Steigung f'(a) um die horizontale Strecke x - a.

Beachte, dass die Tangente auf beiden Seiten etwas über der Kurve liegt. Dieses Detail verrät dir, ob dein Schätzwert zu groß oder zu klein ist. Darauf kommen wir unten zurück.

Warum die Tangente eine gute Schätzung liefert

Die Ableitung ist als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert:

Wenn x nahe bei a liegt, ist der Quotient \frac{f(x) - f(a)}{x - a} also nahe bei f'(a). Multiplizierst du beide Seiten mit (x - a) und addierst f(a), erhältst du genau f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). Lineare Approximation ist einfach die Definition der Ableitung, rückwärts gelesen. Diese Eigenschaft glatter Funktionen, aus der Nähe gerade auszusehen, heißt lokale Linearität.

Sie erklärt auch, warum die Schätzung schlechter wird, je weiter du dich von a entfernst: Der Differenzenquotient weicht immer mehr von f'(a) ab, und die Kurve biegt sich von der Geraden weg.

Lineare Approximation in 4 Schritten

1. Wähle f. Überlege, aus welcher Funktion die Zahl stammt, zum Beispiel f(x) = \sqrt{x} für \sqrt{4.1}.
2. Wähle ein nahes a, an dem sich f(a) leicht exakt berechnen lässt. Bei Wurzeln nimm eine Quadratzahl, bei trigonometrischen Funktionen einen Winkel wie 0 oder \frac{\pi}{6}.
3. Berechne f(a) und f'(a) und schreibe L(x) auf.
4. Setze den gewünschten Wert ein.

Die ganze Kunst steckt in Schritt 2. Eine gute Wahl von a macht die Rechnung trivial und hält den Fehler klein.

Rechenbeispiel 1: die Wurzel aus 4,1 schätzen

Schritt 1. Sei f(x) = \sqrt{x}. Dann ist f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Schritt 2. Die nächste Quadratzahl zu 4.1 ist 4, also a = 4.

Schritt 3. f(4) = 2 und f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. Also

Schritt 4. Setze x = 4.1 ein:

Der wahre Wert ist \sqrt{4.1} = 2.024846\ldots, die Schätzung weicht also um etwa 0.00015 ab. Nicht schlecht für Kopfrechnen.

Rechenbeispiel 2: die Kubikwurzel aus 27,3 schätzen

Schritt 1. Sei f(x) = x^{1/3}, also f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Schritt 2. 27 ist eine Kubikzahl nahe 27.3, also a = 27.

Schritt 3. f(27) = 3. Für die Steigung gilt 27^{2/3} = 9, also f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}. Die Linearisierung ist

Schritt 4.

Der wahre Wert ist etwa 3.01109. Die Schätzung stimmt auf vier Nachkommastellen.

Rechenbeispiel 3: sin(0,1) und e^0,1 schätzen

Für f(x) = \sin x bei a = 0 gilt f(0) = 0 und f'(0) = \cos 0 = 1, also L(x) = x. Daher ist

Der wahre Wert ist 0.09983\ldots Das ist die berühmte Kleinwinkelnäherung \sin x \approx x (mit x im Bogenmaß), die in der Physik überall verwendet wird, zum Beispiel beim schwingenden Pendel.

Für f(x) = e^x bei a = 0 gilt f(0) = 1 und f'(0) = 1, also L(x) = 1 + x und

verglichen mit dem wahren Wert 1.10517\ldots

Über- oder Unterschätzung? Nutze die Krümmung

Die zweite Ableitung verrät dir, auf welcher Seite der Kurve die Tangente liegt:

• Ist f''(a) < 0 (rechtsgekrümmt), biegt sich die Kurve unter die Tangente, L(x) ist also eine Überschätzung.
• Ist f''(a) > 0 (linksgekrümmt), biegt sich die Kurve über die Tangente, L(x) ist also eine Unterschätzung.

Prüfe Beispiel 1: f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} ist bei x = 4 negativ. Also sollte 2.025 zu groß sein, und das stimmt (2.025 > 2.02485). Bei e^x ist die zweite Ableitung e^x > 0, also ist 1.1 zu klein, passend zu 1.1 < 1.10517.

Tipp: Klausuraufgaben fragen gern: "Überschätzt oder unterschätzt dein Wert, und warum?" Die Antwort hängt immer vom Vorzeichen von f'' in der Nähe von a ab.

Differentiale: dieselbe Idee in anderer Schreibweise

Schreibe dx für eine kleine Änderung von x. Das Differential dy ist die Höhenänderung entlang der Tangente:

Die tatsächliche Änderung der Funktion ist \Delta y = f(x + dx) - f(x). Die lineare Approximation besagt, dass für kleine dx

gilt. Das ist genau die umgestellte Linearisierung: f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx. Differentiale sind am nützlichsten, wenn nach einer Änderung oder einem Fehler gefragt ist statt nach einem Wert.

Rechenbeispiel 4: Fehler im Volumen einer Kugel

Der Radius einer Kugel wird mit 10 cm gemessen, mit einem möglichen Fehler von \pm 0.1 cm. Schätze den maximalen Fehler des berechneten Volumens.

Schritt 1. Formel aufschreiben. V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Schritt 2. Differential bilden. dV = 4\pi r^2\,dr.

Schritt 3. Einsetzen von r = 10 und dr = 0.1:

Schritt 4. Relativer Fehler. Das Volumen ist V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8 cm³, also

Aus 1\% Fehler im Radius werden etwa 3\% Fehler im Volumen. Der Faktor 3 kommt vom Exponenten in r^3, ein Muster, das du dir merken solltest.

Rechenbeispiel 5: dy mit der tatsächlichen Änderung vergleichen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge s = 5 cm. Schätze mit Differentialen, wie stark seine Fläche wächst, wenn die Seite auf 5.02 cm zunimmt, und vergleiche mit der exakten Änderung.

Schritt 1. A = s^2, also dA = 2s\,ds.

Schritt 2. Mit s = 5 und ds = 0.02: dA = 2(5)(0.02) = 0.2 cm².

Schritt 3. Exakte Änderung. \Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004 cm².

Das Differential übersieht nur das winzige Eckquadrat (ds)^2 = 0.0004. Stell dir vor, wie das Quadrat wächst: Zwei dünne Streifen mit der Fläche s\,ds bilden zusammen dA, und das kleine Eckstück ist genau das, was die lineare Schätzung ignoriert. Dieser Rest hat immer ungefähr die Größe (ds)^2, deshalb ist die Näherung für kleine Änderungen so gut.

Kurzübersicht: gängige lineare Näherungen in der Nähe von 0

Sie alle stammen aus L(x) = f(0) + f'(0)x und funktionieren am besten für kleine x:

Die letzten beiden sind dieselbe Regel. Zum Beispiel ist (1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2, nahe am wahren Wert 1.219.

Typische Fehler bei der linearen Approximation

1. a schlecht wählen. a = 0 für \sqrt{4.1} scheitert, denn \sqrt{x} ist bei 0 nicht einmal differenzierbar. Wähle immer eine nahe Stelle, an der die Werte exakt sind.
2. x in die Steigung einsetzen. Die Steigung ist die Zahl f'(a), nicht die Funktion f'(x). In Beispiel 1 ist die Steigung \frac{1}{4}, Punkt.
3. Das (x - a) vergessen. L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1) ergibt Unsinn. Du multiplizierst die Steigung mit dem Abstand von a, also mit 0.1.
4. Bei trigonometrischen Funktionen mit Grad rechnen. \sin x \approx x gilt nur im Bogenmaß. \sin(5^\circ) ist etwa 0.087, nicht 5.
5. Ihr weit weg von a vertrauen. Die Tangente entfernt sich von der Kurve, je weiter du dich von a entfernst. \sqrt{9} \approx L(9) = 3.25 ist deutlich falsch.

Warum lineare Approximation wichtig ist

Lineare Approximation ist mehr als ein Trick für Wurzeln. Sie ist der Grund, warum Taschenrechner, physikalische Formeln und numerische Verfahren funktionieren: Das Newton-Verfahren löst Gleichungen, indem es immer wieder Tangenten verwendet, und Taylorpolynome (siehe Taylorreihen) erweitern die Idee von Geraden auf Parabeln und darüber hinaus. Sie hängt außerdem mit dem Mittelwertsatz zusammen, der garantiert, dass irgendeine Tangente genau die mittlere Steigung hat.

Übe das Schätzen mit Tangenten

Die Schritte sind immer gleich: f wählen, ein angenehmes a wählen, f(a) und f'(a) bestimmen und einsetzen. Ein Dutzend Übungsaufgaben reicht meist, bis es automatisch geht. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jeder Schätzung sofort Rückmeldung und zeigt dir genau, wo eine Steigung oder ein Abstand schiefgelaufen ist.