Área entre curvas: a de cima menos a de baixo, passo a passo

Você já sabe calcular a área sob uma curva. Mas e a área presa entre uma parábola e uma reta, ou entre \sin x e \cos x? A ideia é simples (subtrair a de baixo da de cima), e o trabalho de verdade está em encontrar onde as curvas se encontram e acompanhar qual delas está em cima.

A fórmula da área entre duas curvas

Se f(x) \ge g(x) em [a, b], a área da região entre elas é

Em palavras: a de cima menos a de baixo, integrada da esquerda para a direita.

Por que funciona? Fatie a região em faixas verticais finas. Cada faixa tem largura dx e altura igual à distância entre as curvas, f(x) - g(x). Somar todas as faixas é exatamente o que a integral faz. Não importa se as curvas estão acima ou abaixo do eixo x: a distância entre elas continua a mesma.

Como calcular a área entre curvas em 5 passos

1. Esboce as curvas, mesmo que de forma grosseira.
2. Encontre as interseções igualando as duas funções e resolvendo. Elas geralmente são os seus limites.
3. Decida qual curva está em cima usando um ponto de teste entre as interseções.
4. Monte \int_a^b (\text{cima} - \text{baixo})\,dx.
5. Integre e calcule com o Teorema Fundamental do Cálculo.

Exemplo resolvido 1: uma reta e uma parábola

Encontre a área entre y = x e y = x^2.

Passo 1. Interseções. Faça x = x^2, então x^2 - x = 0, x(x - 1) = 0, o que dá x = 0 e x = 1.

Passo 2. Qual está em cima? Teste x = \frac{1}{2}: a reta dá 0.5, a parábola dá 0.25. A reta está em cima.

Passo 3. Monte e integre.

Exemplo resolvido 2: uma parábola voltada para baixo e uma reta

Encontre a área da região limitada por y = 4 - x^2 e y = x + 2.

Passo 1. Interseções. Faça 4 - x^2 = x + 2:

Passo 2. Qual está em cima? Teste x = 0: a parábola dá 4, a reta dá 2. A parábola está em cima.

Passo 3. Monte. Primeiro simplifique a de cima menos a de baixo:

Passo 4. Integre.

Em x = 1: 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}.

Em x = -2: -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}.

O gráfico abaixo mostra a mesma ideia de outro jeito. A área entre duas curvas é igual à área sob a diferença f(x) - g(x), que aqui é a parábola y = 2 - x - x^2.

Exemplo resolvido 3: curvas que se cruzam

Encontre a área entre y = \sin x e y = \cos x de x = 0 até x = \frac{\pi}{2}.

Passo 1. Interseções. \sin x = \cos x quando \tan x = 1, então x = \frac{\pi}{4} neste intervalo. As curvas se cruzam dentro do intervalo.

Passo 2. Qual está em cima, parte por parte?

• Em [0, \frac{\pi}{4}]: em x = 0, \cos 0 = 1 > \sin 0 = 0. O cosseno está em cima.
• Em [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]: em x = \frac{\pi}{2}, \sin = 1 > \cos = 0. O seno está em cima.

Passo 3. Divida e integre.

Passo 4. Some.

Se você tivesse integrado \cos x - \sin x no intervalo inteiro sem dividir, as duas partes se cancelariam e você obteria 0, que claramente não é a área.

Dica: uma forma compacta de escrever isso é A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx. O módulo serve de lembrete para dividir onde quer que as curvas se cruzem.

Integrando em relação a y

Algumas regiões são difíceis de fatiar na vertical. Se a região é limitada à esquerda e à direita por curvas da forma x = h(y), fatie na horizontal:

em que c e d são valores de y.

Exemplo resolvido 4: uma parábola deitada e uma reta

Encontre a área entre x = y^2 e y = x - 2.

Passo 1. Reescreva as duas como x em função de y. A parábola é x = y^2 e a reta é x = y + 2.

Passo 2. Interseções. y^2 = y + 2 dá y^2 - y - 2 = 0, então (y - 2)(y + 1) = 0 e y = -1 ou y = 2.

Passo 3. Qual está à direita? Teste y = 0: a reta dá x = 2, a parábola dá x = 0. A reta está à direita.

Passo 4. Integre.

Em y = 2: 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}. Em y = -1: \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.

Em x, a fronteira de baixo muda em x = 1 (de -\sqrt{x} para a reta), então você precisaria de duas integrais: \int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}. Mesma resposta, o dobro de trabalho.

Referência rápida: dx ou dy?

Erros comuns com área entre curvas

1. A de baixo menos a de cima. Você obtém o tamanho certo com o sinal errado. Se uma área deu negativa, essa é a primeira coisa a conferir.
2. Não dividir nos cruzamentos. As partes se cancelam e a resposta fica pequena demais, às vezes zero.
3. Usar limites em x numa integral em dy. Ao integrar em y, os limites devem ser os valores de y dos pontos de interseção.
4. Perder um sinal ao simplificar. (4 - x^2) - (x + 2) é 2 - x - x^2. Distribua o sinal de menos em todos os termos da curva de baixo.
5. Chutar os limites. Os limites vêm de resolver f(x) = g(x), e não de onde as curvas cortam os eixos, a menos que o enunciado diga isso.

Pratique o cálculo de áreas entre curvas

Esses problemas seguem os mesmos cinco passos toda vez, e a parte difícil costuma ser a álgebra para encontrar as interseções. A prática cria o hábito de esboçar primeiro. A lição interativa abaixo confere cada montagem e cada resposta na hora, para você aprender a perceber uma troca entre a curva de cima e a de baixo antes que ela custe pontos. Em seguida, a mesma ideia de fatiar leva aos volumes de revolução.