Volumes de revolução: métodos dos discos, das arruelas e das cascas

Gire uma região plana em torno de uma reta e ela gera um sólido em 3D: um vaso, uma tigela, uma conta de colar. Calcular seu volume parece difícil, mas, se você fatiar do jeito certo, cada fatia é uma figura simples (um disco, uma arruela ou uma casca cilíndrica fina), e a integral soma todas elas. A parte difícil é escolher a fatia e acertar o raio.

O que é um volume de revolução?

Um sólido de revolução é a figura em 3D obtida ao girar uma região plana em torno de uma reta, chamada eixo de rotação. Seu volume é encontrado cortando-o em fatias finas cujos volumes você conhece e depois integrando.

Há três métodos padrão:

O método dos discos

Gire a região sob y = f(x) de a a b em torno do eixo x. Uma fatia vertical de espessura dx vira uma moeda fina com raio R(x) = f(x) e volume \pi R^2\,dx. Somando as moedas:

Exemplo resolvido 1: girando y = √x em torno do eixo x

Encontre o volume quando a região sob y = \sqrt{x} de x = 0 a x = 4 gira em torno do eixo x.

Passo 1. Raio. A região encosta no eixo, então as fatias são discos com R(x) = \sqrt{x}.

Passo 2. Monte.

Passo 3. Integre.

Dica: uma conferência rápida do método dos discos é o cone. Girar y = \frac{r}{h}x de 0 a h dá \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h, a conhecida fórmula do cone.

O método das arruelas

Se há um vão entre a região e o eixo, cada fatia tem um furo no meio. Com raio externo R(x) e raio interno r(x):

Exemplo resolvido 2: a região entre y = x e y = x²

Gire a região entre y = x e y = x^2 em torno do eixo x.

Passo 1. Limites. x = x^2 dá x = 0 e x = 1 (veja área entre curvas).

Passo 2. Raios. Em [0, 1], x \ge x^2, então a reta está mais longe do eixo. R(x) = x e r(x) = x^2.

Passo 3. Monte e integre.

Exemplo resolvido 3: girando em torno da reta y = 2

Gire a mesma região em torno da reta horizontal y = 2.

Passo 1. Raios como distâncias. Todo ponto da região está abaixo de y = 2, então a distância de uma curva até o eixo é 2 - y. A parábola y = x^2 está mais baixa, então fica mais longe de y = 2:

Passo 2. Expanda.

Passo 3. Integre.

Repare como a curva interna e a externa trocaram de papel em relação ao exemplo 2. Meça sempre a partir do eixo.

O método das cascas cilíndricas

Agora fatie paralelamente ao eixo. Girar uma faixa vertical fina em torno do eixo y produz um cilindro oco (uma casca). Desenrolada, uma casca é quase uma folha plana com comprimento 2\pi(\text{raio}), altura h(x) e espessura dx. Então, para rotação em torno do eixo y:

onde x é o raio da casca e h(x) é a altura da faixa (de cima menos de baixo).

Exemplo resolvido 4: a mesma região, em torno do eixo y

Gire a região entre y = x e y = x^2 em torno do eixo y.

Passo 1. Raio e altura. Uma faixa vertical em x está a uma distância x do eixo y. Sua altura é x - x^2.

Passo 2. Monte e integre.

Confira com arruelas. Fatiando na horizontal, isole x em cada curva: o raio externo é x = \sqrt{y} e o interno é x = y, para 0 \le y \le 1:

Os dois métodos concordam.

Exemplo resolvido 5: quando só as cascas são fáceis

Gire a região sob y = 2x^2 - x^3 de x = 0 a x = 2 em torno do eixo y.

As arruelas precisariam de x em função de y, o que significa resolver uma cúbica. As cascas evitam isso por completo.

Passo 1. Raio e altura. Raio x, altura 2x^2 - x^3.

Passo 2. Monte.

Passo 3. Integre.

Discos, arruelas ou cascas: como escolher

Faça duas perguntas: qual é o eixo e em qual variável as curvas estão escritas?

O padrão: discos e arruelas fatiam perpendicularmente ao eixo, cascas fatiam paralelamente a ele. Escolha o que permite integrar na variável em que as curvas já estão escritas. Para cascas em torno de x = h, o raio passa a ser |h - x| em vez de x.

Erros comuns com volumes de revolução

1. Escrever (R - r)^2 em vez de R^2 - r^2. Eleve cada raio ao quadrado separadamente e depois subtraia.
2. Esquecer o \pi (ou o 2\pi). Discos e arruelas usam \pi; cascas usam 2\pi.
3. Medir o raio a partir do lugar errado. O raio é a distância até o eixo de rotação, não até o eixo x. Para y = 2, o raio de y = x^2 é 2 - x^2.
4. Trocar o raio interno com o externo. O raio externo pertence à curva mais distante do eixo, que nem sempre é a curva de cima.
5. Misturar variáveis. Uma integral em dy precisa de raios e limites em termos de y.

Pratique volumes até a montagem ficar automática

As integrais desses problemas costumam ser fáceis. Os pontos estão na montagem: a fatia certa, o raio certo, os limites certos. A lição interativa abaixo treina exatamente isso, com feedback imediato em cada raio e em cada integral, para que um raio interno trocado seja pego na hora.