Área entre curvas: la de arriba menos la de abajo, paso a paso

Ya sabes calcular el área bajo una curva. Pero ¿qué pasa con el área atrapada entre una parábola y una recta, o entre \sin x y \cos x? La idea es sencilla (restar la de abajo a la de arriba), y el trabajo real está en encontrar dónde se cortan las curvas y no perder de vista cuál está arriba.

La fórmula del área entre dos curvas

Si f(x) \ge g(x) en [a, b], el área de la región entre ellas es

En palabras: la de arriba menos la de abajo, integrada de izquierda a derecha.

¿Por qué funciona? Corta la región en franjas verticales delgadas. Cada franja tiene ancho dx y una altura igual a la separación entre las curvas, f(x) - g(x). Sumar todas las franjas es exactamente lo que hace la integral. No importa si las curvas están por encima o por debajo del eje x: la separación es la separación.

Cómo calcular el área entre curvas en 5 pasos

1. Dibuja las curvas, aunque sea a mano alzada.
2. Halla las intersecciones igualando las dos funciones y resolviendo. Normalmente son tus límites.
3. Decide qué curva está arriba con un punto de prueba entre las intersecciones.
4. Plantea \int_a^b (\text{superior} - \text{inferior})\,dx.
5. Integra y evalúa con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Ejemplo resuelto 1: una recta y una parábola

Halla el área entre y = x y y = x^2.

Paso 1. Intersecciones. Iguala x = x^2, de modo que x^2 - x = 0, x(x - 1) = 0, lo que da x = 0 y x = 1.

Paso 2. ¿Cuál está arriba? Prueba x = \frac{1}{2}: la recta da 0.5 y la parábola da 0.25. La recta está arriba.

Paso 3. Plantea e integra.

Ejemplo resuelto 2: una parábola hacia abajo y una recta

Halla el área de la región limitada por y = 4 - x^2 y y = x + 2.

Paso 1. Intersecciones. Iguala 4 - x^2 = x + 2:

Paso 2. ¿Cuál está arriba? Prueba x = 0: la parábola da 4 y la recta da 2. La parábola está arriba.

Paso 3. Plantea. Primero simplifica la de arriba menos la de abajo:

Paso 4. Integra.

En x = 1: 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}.

En x = -2: -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}.

La gráfica de abajo muestra la misma idea de otra forma. El área entre dos curvas es igual al área bajo su diferencia f(x) - g(x), que aquí es la parábola y = 2 - x - x^2.

Ejemplo resuelto 3: curvas que se cruzan

Halla el área entre y = \sin x y y = \cos x desde x = 0 hasta x = \frac{\pi}{2}.

Paso 1. Intersecciones. \sin x = \cos x cuando \tan x = 1, es decir, x = \frac{\pi}{4} en este intervalo. Las curvas se cruzan dentro del intervalo.

Paso 2. ¿Cuál está arriba en cada trozo?

• En [0, \frac{\pi}{4}]: en x = 0, \cos 0 = 1 > \sin 0 = 0. El coseno está arriba.
• En [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]: en x = \frac{\pi}{2}, \sin = 1 > \cos = 0. El seno está arriba.

Paso 3. Divide e integra.

Paso 4. Suma.

Si hubieras integrado \cos x - \sin x en todo el intervalo sin dividir, los dos trozos se cancelarían y obtendrías 0, que claramente no es el área.

Consejo: una forma compacta de escribirlo es A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx. El valor absoluto te recuerda que debes dividir allí donde las curvas se cruzan.

Integrar con respecto a y

Algunas regiones son incómodas de cortar en vertical. Si la región está limitada a izquierda y derecha por curvas de la forma x = h(y), córtala en horizontal:

donde c y d son valores de y.

Ejemplo resuelto 4: una parábola horizontal y una recta

Halla el área entre x = y^2 y y = x - 2.

Paso 1. Escribe ambas como x en función de y. La parábola es x = y^2 y la recta es x = y + 2.

Paso 2. Intersecciones. y^2 = y + 2 da y^2 - y - 2 = 0, así que (y - 2)(y + 1) = 0 y y = -1 o y = 2.

Paso 3. ¿Cuál está a la derecha? Prueba y = 0: la recta da x = 2 y la parábola da x = 0. La recta está a la derecha.

Paso 4. Integra.

En y = 2: 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}. En y = -1: \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.

En x, la frontera inferior cambia en x = 1 (de -\sqrt{x} a la recta), así que necesitarías dos integrales: \int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}. La misma respuesta, el doble de trabajo.

Referencia rápida: ¿dx o dy?

Errores comunes con el área entre curvas

1. La de abajo menos la de arriba. Obtienes el tamaño correcto con el signo equivocado. Si un área te sale negativa, esto es lo primero que debes revisar.
2. No dividir en los cruces. Los trozos se cancelan y la respuesta sale demasiado pequeña, a veces cero.
3. Usar límites en x en una integral en dy. Al integrar en y, los límites deben ser los valores de y de los puntos de intersección.
4. Perder un signo al simplificar. (4 - x^2) - (x + 2) es 2 - x - x^2. Distribuye el signo menos en todos los términos de la curva de abajo.
5. Adivinar los límites. Los límites salen de resolver f(x) = g(x), no de dónde cortan las curvas a los ejes, salvo que el problema lo indique.

Practica el cálculo de áreas entre curvas

Estos problemas siguen siempre los mismos cinco pasos, y la parte difícil suele ser el álgebra para encontrar las intersecciones. La práctica crea el hábito de dibujar primero. La lección interactiva de abajo corrige al instante cada planteamiento y cada respuesta, así aprendes a detectar una curva de arriba y de abajo invertidas antes de que te cueste puntos. Después, la misma idea de cortar en franjas te lleva a los volúmenes de revolución.