Derivação implícita: método passo a passo e exemplos

Nem toda curva vem na forma y = f(x). A circunferência x^2 + y^2 = 25 nem sequer é uma função, e uma equação como x^3 + y^3 = 6xy não pode ser resolvida para y de nenhum jeito razoável. Mesmo assim, as duas curvas têm retas tangentes perfeitamente definidas. A derivação implícita encontra as inclinações delas sem nunca isolar y.

O que é derivação implícita?

Uma equação como y = x^2 + 1 define y explicitamente: y está sozinho de um lado. Uma equação como x^2 + y^2 = 25 define y implicitamente: a relação entre x e y está ali, mas emaranhada.

Derivar implicitamente significa derivar os dois lados dessa equação em relação a x, tratando y como uma função desconhecida de x. O resultado é uma equação que você pode resolver para \frac{dy}{dx}.

A única ideia nova é como derivar um termo que contém y. Como y é função de x, a regra da cadeia se aplica:

Então \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}. Compare com \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, em que nenhum fator extra aparece porque a derivada de x em relação a x é 1.

Como fazer derivação implícita, passo a passo

1. Derive os dois lados em relação a x, termo a termo.
2. Acrescente \frac{dy}{dx} toda vez que derivar algo que contenha y. Use a regra do produto em termos como xy ou x^2y.
3. Junte todos os termos com \frac{dy}{dx} de um lado e todo o resto do outro.
4. Coloque \frac{dy}{dx} em evidência.
5. Divida para isolar \frac{dy}{dx}.

Para encontrar a inclinação num ponto específico, substitua x e y no final.

Exemplo resolvido 1: a inclinação de uma circunferência

Encontre \frac{dy}{dx} para x^2 + y^2 = 25 e a reta tangente em (3, 4).

Passo 1. Derive os dois lados.

Passo 2. Acrescente \frac{dy}{dx} ao termo com y. A constante 25 tem derivada 0.

Passo 3. Resolva. Subtraia 2x e divida por 2y:

Passo 4. Calcule em (3, 4). Primeiro confira que o ponto está na circunferência: 9 + 16 = 25. A inclinação é -\frac{3}{4}.

Passo 5. Reta tangente. Usando a equação da reta por ponto e inclinação:

A resposta passa numa verificação geométrica. O raio até (3, 4) tem inclinação \frac{4}{3}, e a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio, então sua inclinação deve ser o oposto do inverso, -\frac{3}{4}. E é.

Repare que -\frac{x}{y} funciona nas duas metades da circunferência ao mesmo tempo. Em (3, -4), ela dá +\frac{3}{4}, o valor correto para a metade de baixo. Isolar y primeiro teria obrigado você a tratar y = \sqrt{25-x^2} e y = -\sqrt{25-x^2} separadamente.

A derivação implícita dá a mesma resposta que isolar y?

Sim, sempre que for possível isolar y. Pegue a metade de cima da circunferência, y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}. A regra da cadeia dá

Mas \sqrt{25 - x^2} é simplesmente y, então isso é -\frac{x}{y}, exatamente o que a derivação implícita produziu. Os dois métodos sempre concordam. A derivação implícita é só mais rápida, cobre todos os ramos da curva com uma única fórmula e continua funcionando quando isolar y é impossível.

Então, quando escolhê-la? Uma boa regra: se isolar y exigiria uma raiz quadrada com \pm, uma raiz cúbica de algo complicado, ou simplesmente não for possível, derive implicitamente. Se a equação já está na forma y = \ldots, derive diretamente.

Exemplo resolvido 2: um termo com produto

Encontre \frac{dy}{dx} para x^2 + xy + y^2 = 7 e a inclinação em (1, 2).

Passo 1. Derive termo a termo. O termo do meio, xy, é um produto, então precisa da regra do produto: \frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 2. Junte os termos com \frac{dy}{dx}.

Passo 3. Divida.

Passo 4. Calcule. O ponto está na curva, já que 1 + 2 + 4 = 7. A inclinação é -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.

Exemplo resolvido 3: uma curva em que não dá para isolar y

O fólio de Descartes é x^3 + y^3 = 6xy. Encontre a inclinação em (3, 3).

Passo 1. Derive. O lado direito é 6 vezes o produto xy:

Passo 2. Junte. Passe os termos com \frac{dy}{dx} para a esquerda e o resto para a direita:

Passo 3. Coloque em evidência e divida, cancelando o 3 comum:

Passo 4. Calcule em (3, 3). Verificação: 27 + 27 = 54 = 6\cdot 9. A inclinação é \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.

Exemplo resolvido 4: a derivada de arcsen x

É com derivação implícita que se encontram as derivadas das funções trigonométricas inversas. Seja y = \arcsin x, então \sin y = x com -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.

Passo 1. Derive. \cos y\,\frac{dy}{dx} = 1, então \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.

Passo 2. Reescreva em termos de x. Como \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2, e \cos y \ge 0 nesse intervalo, \cos y = \sqrt{1 - x^2}.

O mesmo truque, aplicado a e^y = x, prova que a derivada de \ln x é \frac{1}{x}, como mostrado em derivadas de exponenciais e logaritmos.

Encontrando a segunda derivada de forma implícita

Para a circunferência, encontramos y' = -\frac{x}{y}. Para obter y'', derive isso de novo com a regra do quociente, lembrando que y continua sendo função de x:

Passo 1. Regra do quociente.

Passo 2. Substitua y' = -\frac{x}{y}.

Passo 3. Elimine a fração pequena multiplicando o numerador e o denominador por y:

Passo 4. Use a equação original. Como x^2 + y^2 = 25:

Isso faz sentido. Na metade de cima (y > 0), y'' é negativa, então o arco tem concavidade para baixo. Na metade de baixo (y < 0), ela é positiva e o arco tem concavidade para cima. Em (3, 4), y'' = -\frac{25}{64}.

Dica: o movimento do passo 4, trocar uma expressão por uma constante tirada da equação original, aparece em quase toda segunda derivada implícita. Procure por ele sempre antes de parar de simplificar.

Erros comuns na derivação implícita

1. Esquecer o \frac{dy}{dx}. Escrever \frac{d}{dx}(y^2) = 2y. Todo termo com y ganha o fator.
2. Pular a regra do produto. \frac{d}{dx}(xy) é y + x\frac{dy}{dx}, e não \frac{dy}{dx} nem 1\cdot\frac{dy}{dx}.
3. Acrescentar \frac{dy}{dx} a termos com x. \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, sem fator extra.
4. Não derivar o lado direito. A constante 25 vira 0, mas 6xy também precisa ser derivado.
5. Substituir só o x. As inclinações implícitas geralmente dependem das duas coordenadas. Use o ponto completo.
6. Esquecer de substituir y' ao encontrar a segunda derivada, deixando y' dentro da resposta de y''.

Referência rápida

Torne isso rotina com prática

A derivação implícita é uma habilidade mecânica com um único hábito novo: marcar cada y com um \frac{dy}{dx}. Faça isso de forma consistente e a álgebra cuida do resto. A lição interativa abaixo traz curvas para você derivar com feedback imediato, e também é a melhor preparação para taxas relacionadas, que usam exatamente essa técnica com o tempo como variável.