Implizites Differenzieren: Schritt-für-Schritt-Methode und Beispiele

Nicht jede Kurve liegt in der Form y = f(x) vor. Der Kreis x^2 + y^2 = 25 ist überhaupt keine Funktion, und eine Gleichung wie x^3 + y^3 = 6xy lässt sich nicht vernünftig nach y auflösen. Trotzdem haben beide Kurven ganz normale Tangenten. Implizites Differenzieren bestimmt ihre Steigungen, ohne jemals nach y aufzulösen.

Was ist implizites Differenzieren?

Eine Gleichung wie y = x^2 + 1 definiert y explizit: y steht allein auf einer Seite. Eine Gleichung wie x^2 + y^2 = 25 definiert y implizit: Der Zusammenhang zwischen x und y ist da, aber ineinander verwickelt.

Implizites Differenzieren bedeutet, beide Seiten einer solchen Gleichung nach x abzuleiten und dabei y als unbekannte Funktion von x zu behandeln. Das Ergebnis ist eine Gleichung, die du nach \frac{dy}{dx} auflösen kannst.

Die einzige neue Idee ist, wie man einen Term mit y ableitet. Da y eine Funktion von x ist, gilt die Kettenregel:

Also ist \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx} und \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}. Vergleiche das mit \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, wo kein zusätzlicher Faktor auftaucht, weil die Ableitung von x nach x gleich 1 ist.

So differenzierst du implizit, Schritt für Schritt

1. Leite beide Seiten summandenweise nach x ab.
2. Hänge \frac{dy}{dx} an, jedes Mal, wenn du etwas mit y ableitest. Verwende bei Termen wie xy oder x^2y die Produktregel.
3. Sammle alle Terme mit \frac{dy}{dx} auf einer Seite und alles andere auf der anderen.
4. Klammere \frac{dy}{dx} aus.
5. Teile, um \frac{dy}{dx} zu isolieren.

Um die Steigung in einem bestimmten Punkt zu bestimmen, setzt du am Ende sowohl x als auch y ein.

Rechenbeispiel 1: die Steigung eines Kreises

Bestimme \frac{dy}{dx} für x^2 + y^2 = 25 und die Tangente im Punkt (3, 4).

Schritt 1. Beide Seiten ableiten.

Schritt 2. \frac{dy}{dx} an den y-Term anhängen. Die Konstante 25 hat die Ableitung 0.

Schritt 3. Auflösen. Subtrahiere 2x und teile durch 2y:

Schritt 4. Im Punkt (3, 4) auswerten. Prüfe zuerst, dass der Punkt auf dem Kreis liegt: 9 + 16 = 25. Die Steigung ist -\frac{3}{4}.

Schritt 5. Tangente. Mit der Punkt-Steigungs-Form:

Die Antwort besteht eine geometrische Probe. Der Radius zu (3, 4) hat die Steigung \frac{4}{3}, und eine Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem Radius, ihre Steigung sollte also der negative Kehrwert sein, -\frac{3}{4}. Das ist sie.

Beachte, dass -\frac{x}{y} auf beiden Kreishälften zugleich funktioniert. Im Punkt (3, -4) ergibt sich +\frac{3}{4}, richtig für die untere Hälfte. Hättest du zuerst nach y aufgelöst, hättest du y = \sqrt{25-x^2} und y = -\sqrt{25-x^2} getrennt behandeln müssen.

Liefert implizites Differenzieren dasselbe wie das Auflösen nach y?

Ja, immer wenn du nach y auflösen kannst. Nimm die obere Kreishälfte, y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}. Die Kettenregel liefert

Aber \sqrt{25 - x^2} ist einfach y, das ist also -\frac{x}{y}, genau das, was implizites Differenzieren ergeben hat. Die beiden Methoden stimmen immer überein. Implizites Differenzieren ist einfach schneller, deckt jeden Zweig der Kurve mit einer einzigen Formel ab und funktioniert auch dann, wenn das Auflösen nach y unmöglich ist.

Wann solltest du es also wählen? Eine gute Regel: Wenn das Isolieren von y eine Wurzel mit \pm, eine dritte Wurzel aus etwas Unübersichtlichem bräuchte oder schlicht nicht möglich ist, differenziere implizit. Steht die Gleichung schon als y = \ldots da, leite sie direkt ab.

Rechenbeispiel 2: ein Produktterm

Bestimme \frac{dy}{dx} für x^2 + xy + y^2 = 7 und die Steigung im Punkt (1, 2).

Schritt 1. Summandenweise ableiten. Der mittlere Term xy ist ein Produkt und braucht die Produktregel: \frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}.

Schritt 2. Die Terme mit \frac{dy}{dx} sammeln.

Schritt 3. Teilen.

Schritt 4. Auswerten. Der Punkt liegt auf der Kurve, da 1 + 2 + 4 = 7. Die Steigung ist -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.

Rechenbeispiel 3: eine Kurve, die sich nicht nach y auflösen lässt

Das kartesische Blatt ist x^3 + y^3 = 6xy. Bestimme die Steigung im Punkt (3, 3).

Schritt 1. Ableiten. Die rechte Seite ist 6 mal das Produkt xy:

Schritt 2. Sammeln. Bring die Terme mit \frac{dy}{dx} nach links und den Rest nach rechts:

Schritt 3. Ausklammern und teilen, dabei den gemeinsamen Faktor 3 kürzen:

Schritt 4. Im Punkt (3, 3) auswerten. Probe: 27 + 27 = 54 = 6\cdot 9. Die Steigung ist \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.

Rechenbeispiel 4: die Ableitung von arcsin x

Mit implizitem Differenzieren findet man die Ableitungen der Arkusfunktionen. Sei y = \arcsin x, also \sin y = x mit -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.

Schritt 1. Ableiten. \cos y\,\frac{dy}{dx} = 1, also \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.

Schritt 2. In x umschreiben. Da \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2 und \cos y \ge 0 auf diesem Intervall gilt, ist \cos y = \sqrt{1 - x^2}.

Derselbe Trick, angewendet auf e^y = x, beweist, dass die Ableitung von \ln x gleich \frac{1}{x} ist, wie in Ableitung von Exponentialfunktion und Logarithmus gezeigt.

Die zweite Ableitung implizit bestimmen

Für den Kreis haben wir y' = -\frac{x}{y} gefunden. Um y'' zu erhalten, leitest du das noch einmal mit der Quotientenregel ab und denkst daran, dass y immer noch eine Funktion von x ist:

Schritt 1. Quotientenregel.

Schritt 2. y' = -\frac{x}{y} einsetzen.

Schritt 3. Den kleinen Bruch beseitigen, indem du Zähler und Nenner mit y multiplizierst:

Schritt 4. Die ursprüngliche Gleichung verwenden. Da x^2 + y^2 = 25 gilt:

Das ist plausibel. Auf der oberen Hälfte (y > 0) ist y'' negativ, der Bogen ist also rechtsgekrümmt. Auf der unteren Hälfte (y < 0) ist sie positiv, und der Bogen ist linksgekrümmt. Im Punkt (3, 4) ist y'' = -\frac{25}{64}.

Tipp: Der Zug aus Schritt 4, einen Ausdruck durch eine Konstante aus der ursprünglichen Gleichung zu ersetzen, kommt bei fast jeder impliziten zweiten Ableitung vor. Halte immer danach Ausschau, bevor du mit dem Vereinfachen aufhörst.

Typische Fehler beim impliziten Differenzieren

1. \frac{dy}{dx} vergessen. \frac{d}{dx}(y^2) = 2y schreiben. Jeder y-Term bekommt den Faktor.
2. Die Produktregel überspringen. \frac{d}{dx}(xy) ist y + x\frac{dy}{dx}, nicht \frac{dy}{dx} und nicht 1\cdot\frac{dy}{dx}.
3. \frac{dy}{dx} an x-Terme hängen. \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, ohne zusätzlichen Faktor.
4. Die rechte Seite nicht ableiten. Die Konstante 25 wird zu 0, aber 6xy muss ebenfalls abgeleitet werden.
5. Nur x einsetzen. Implizite Steigungen hängen meist von beiden Koordinaten ab. Verwende den ganzen Punkt.
6. Vergessen, y' einzusetzen, wenn du die zweite Ableitung bestimmst, sodass y' in der Antwort für y'' stehen bleibt.

Kurzübersicht

Mit Übung zur Routine machen

Implizites Differenzieren ist eine mechanische Fähigkeit mit einer neuen Gewohnheit: Versieh jedes y mit einem \frac{dy}{dx}. Wenn du das konsequent tust, erledigt sich die Algebra von selbst. Die interaktive Lektion unten gibt dir Kurven zum Ableiten mit sofortiger Rückmeldung, und sie ist zugleich die beste Vorbereitung auf verknüpfte Änderungsraten, bei denen genau diese Technik mit der Zeit als Variable verwendet wird.