Dérivation implicite : méthode pas à pas et exemples

Toutes les courbes ne se présentent pas sous la forme y = f(x). Le cercle x^2 + y^2 = 25 n'est pas du tout une fonction, et une équation comme x^3 + y^3 = 6xy ne peut pas être résolue en y de façon raisonnable. Pourtant, ces deux courbes ont des tangentes tout à fait correctes. La dérivation implicite trouve leurs pentes sans jamais résoudre en y.

Qu'est-ce que la dérivation implicite ?

Une équation comme y = x^2 + 1 définit y explicitement : y est seul d'un côté. Une équation comme x^2 + y^2 = 25 définit y implicitement : la relation entre x et y est bien là, mais emmêlée.

La dérivation implicite consiste à dériver les deux membres d'une telle équation par rapport à x, en traitant y comme une fonction inconnue de x. On obtient une équation qu'on peut résoudre pour isoler \frac{dy}{dx}.

La seule idée nouvelle est la façon de dériver un terme qui contient y. Comme y est une fonction de x, la règle de dérivation en chaîne s'applique :

Ainsi \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx} et \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}. Comparez avec \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, où aucun facteur supplémentaire n'apparaît, car la dérivée de x par rapport à x vaut 1.

La dérivation implicite, étape par étape

1. Dérivez les deux membres par rapport à x, terme à terme.
2. Ajoutez \frac{dy}{dx} chaque fois que vous dérivez quelque chose qui contient y. Utilisez la règle du produit pour les termes comme xy ou x^2y.
3. Regroupez tous les termes en \frac{dy}{dx} d'un côté et tout le reste de l'autre.
4. Factorisez \frac{dy}{dx}.
5. Divisez pour isoler \frac{dy}{dx}.

Pour trouver la pente en un point précis, remplacez x et y à la fin.

Exemple corrigé 1 : la pente d'un cercle

Trouvez \frac{dy}{dx} pour x^2 + y^2 = 25, ainsi que la tangente en (3, 4).

Étape 1. Dériver les deux membres.

Étape 2. Ajouter \frac{dy}{dx} au terme en y. La constante 25 a pour dérivée 0.

Étape 3. Résoudre. Soustrayez 2x et divisez par 2y :

Étape 4. Évaluer en (3, 4). Vérifiez d'abord que le point est sur le cercle : 9 + 16 = 25. La pente vaut -\frac{3}{4}.

Étape 5. La tangente. Avec l'équation point-pente :

La réponse passe une vérification géométrique. Le rayon jusqu'à (3, 4) a pour pente \frac{4}{3}, et une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon, donc sa pente doit être l'opposé de l'inverse, -\frac{3}{4}. C'est bien le cas.

Remarquez que -\frac{x}{y} fonctionne sur les deux moitiés du cercle à la fois. En (3, -4), elle donne +\frac{3}{4}, ce qui est correct pour la moitié inférieure. Résoudre d'abord en y vous aurait obligé à traiter y = \sqrt{25-x^2} et y = -\sqrt{25-x^2} séparément.

La dérivation implicite donne-t-elle la même réponse que la résolution en y ?

Oui, chaque fois qu'on peut résoudre en y. Prenons la moitié supérieure du cercle, y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}. La dérivation en chaîne donne

Mais \sqrt{25 - x^2} n'est autre que y, donc cela vaut -\frac{x}{y}, exactement ce qu'a donné la dérivation implicite. Les deux méthodes concordent toujours. La dérivation implicite est simplement plus rapide, elle couvre toutes les branches de la courbe en une seule formule, et elle marche encore quand il est impossible de résoudre en y.

Alors quand la choisir ? Une bonne règle : si isoler y demande une racine carrée avec \pm, une racine cubique de quelque chose de compliqué, ou est tout simplement impossible, dérivez implicitement. Si l'équation est déjà de la forme y = \ldots, dérivez-la directement.

Exemple corrigé 2 : un terme produit

Trouvez \frac{dy}{dx} pour x^2 + xy + y^2 = 7, ainsi que la pente en (1, 2).

Étape 1. Dériver terme à terme. Le terme du milieu xy est un produit, il demande donc la règle du produit : \frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}.

Étape 2. Regrouper les termes en \frac{dy}{dx}.

Étape 3. Diviser.

Étape 4. Évaluer. Le point est sur la courbe, puisque 1 + 2 + 4 = 7. La pente vaut -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.

Exemple corrigé 3 : une courbe qu'on ne peut pas résoudre en y

Le folium de Descartes a pour équation x^3 + y^3 = 6xy. Trouvez la pente en (3, 3).

Étape 1. Dériver. Le membre de droite vaut 6 fois le produit xy :

Étape 2. Regrouper. Passez les termes en \frac{dy}{dx} à gauche et le reste à droite :

Étape 3. Factoriser et diviser, en simplifiant le 3 commun :

Étape 4. Évaluer en (3, 3). Vérification : 27 + 27 = 54 = 6\cdot 9. La pente vaut \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.

Exemple corrigé 4 : la dérivée de arcsin x

C'est par dérivation implicite qu'on trouve les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques. Posons y = \arcsin x, donc \sin y = x avec -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.

Étape 1. Dériver. \cos y\,\frac{dy}{dx} = 1, donc \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.

Étape 2. Réécrire en fonction de x. Comme \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2, et que \cos y \ge 0 sur cet intervalle, \cos y = \sqrt{1 - x^2}.

La même astuce, appliquée à e^y = x, prouve que la dérivée de \ln x est \frac{1}{x}, comme le montre l'article sur les dérivées de l'exponentielle et du logarithme.

Trouver la dérivée seconde par dérivation implicite

Pour le cercle, nous avons trouvé y' = -\frac{x}{y}. Pour obtenir y'', dérivez de nouveau avec la règle du quotient, en vous rappelant que y est toujours une fonction de x :

Étape 1. Règle du quotient.

Étape 2. Remplacer y' = -\frac{x}{y}.

Étape 3. Faire disparaître la petite fraction en multipliant en haut et en bas par y :

Étape 4. Utiliser l'équation de départ. Comme x^2 + y^2 = 25 :

C'est cohérent. Sur la moitié supérieure (y > 0), y'' est négative, donc l'arc est concave. Sur la moitié inférieure (y < 0), elle est positive et l'arc est convexe. En (3, 4), y'' = -\frac{25}{64}.

Astuce : le geste de l'étape 4, remplacer une expression par une constante tirée de l'équation de départ, revient dans presque toutes les dérivées secondes implicites. Cherchez-le toujours avant d'arrêter de simplifier.

Les erreurs fréquentes en dérivation implicite

1. Oublier \frac{dy}{dx}. Écrire \frac{d}{dx}(y^2) = 2y. Chaque terme en y reçoit le facteur.
2. Sauter la règle du produit. \frac{d}{dx}(xy) vaut y + x\frac{dy}{dx}, et non \frac{dy}{dx} ni 1\cdot\frac{dy}{dx}.
3. Ajouter \frac{dy}{dx} aux termes en x. \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, sans facteur supplémentaire.
4. Ne pas dériver le membre de droite. La constante 25 devient 0, mais 6xy doit aussi être dérivé.
5. Ne remplacer que x. Les pentes implicites dépendent généralement des deux coordonnées. Utilisez le point complet.
6. Oublier de remplacer y' en cherchant la dérivée seconde, et laisser y' dans la réponse pour y''.

Aide-mémoire

Rendez-la routinière par l'entraînement

La dérivation implicite est une compétence mécanique avec une seule nouvelle habitude : accoler un \frac{dy}{dx} à chaque y. Faites-le systématiquement et l'algèbre suit toute seule. La leçon interactive ci-dessous vous propose des courbes à dériver avec un retour immédiat, et c'est aussi la meilleure préparation aux taux de variation liés, qui utilisent exactement cette technique avec le temps comme variable.