Multiplicateurs de Lagrange : méthode, intuition et exemples corrigés

La plupart des vrais problèmes d'optimisation viennent avec des conditions. Maximiser une aire, mais la clôture a une longueur fixée. Minimiser un coût, mais il faut produire une quantité fixée. Quand les variables sont liées par une contrainte, annuler les dérivées partielles ne suffit plus. Les multiplicateurs de Lagrange fournissent un système d'équations propre qui trouve la réponse malgré tout.

Ce guide explique la méthode, la géométrie qui la justifie, et trois exemples entièrement corrigés, dont un à trois variables.

Qu'est-ce que la méthode des multiplicateurs de Lagrange ?

Supposons que l'on cherche le maximum ou le minimum de f(x, y), mais seulement parmi les points qui vérifient une contrainte g(x, y) = c. La méthode des multiplicateurs de Lagrange affirme qu'en tout point extrémal de ce type (où \nabla g \ne \mathbf{0}), il existe un nombre \lambda tel que

Écrit composante par composante, cela donne trois équations aux trois inconnues x, y et \lambda :

La lettre grecque \lambda (lambda) est le multiplicateur de Lagrange. Avec trois variables, on ajoute f_z = \lambda g_z et la contrainte devient g(x, y, z) = c.

Pourquoi ça marche : les gradients sont colinéaires

Imaginez la contrainte g(x, y) = c comme un chemin tracé sur une carte, et les lignes de niveau de f comme des courbes de niveau. Marchez le long du chemin en surveillant la valeur de f.

• Là où le chemin traverse une courbe de niveau, on peut continuer à marcher vers une courbe plus haute. Ce n'est pas un maximum.
• Au point le plus haut du chemin, le chemin touche juste une courbe de niveau sans la traverser. Les deux courbes sont tangentes.

Deux courbes tangentes ont la même tangente au point de contact. Comme un gradient est orthogonal à sa propre ligne de niveau, \nabla f et \nabla g sont tous deux orthogonaux à cette tangente commune. Ils sont donc portés par la même droite, ce qui veut dire que l'un est un multiple de l'autre : \nabla f = \lambda \nabla g.

Utiliser les multiplicateurs de Lagrange pas à pas

1. Identifiez la fonction à optimiser, f, et écrivez la contrainte sous la forme g = c.
2. Calculez \nabla f et \nabla g.
3. Posez le système \nabla f = \lambda \nabla g, g = c.
4. Résolvez-le. Une astuce fiable : isolez \lambda dans chaque équation du gradient et égalisez les résultats, ou divisez une équation par une autre pour éliminer \lambda. Faites attention aux cas où une variable vaut 0.
5. Évaluez f en chaque solution. La plus grande valeur est le maximum et la plus petite le minimum.

Astuce : l'étape 5 n'est pas facultative. Les équations donnent des candidats, et seule la comparaison des valeurs de f indique lequel est lequel.

Exemple corrigé 1 : une droite rencontre un cercle

Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = x + y sur le cercle x^2 + y^2 = 2.

Étape 1. Gradients. \nabla f = \langle 1, 1 \rangle et, avec g = x^2 + y^2, \nabla g = \langle 2x, 2y \rangle.

Étape 2. Le système.

Étape 3. Éliminer \lambda. Ni \lambda, ni x, ni y ne peuvent valoir 0 (sinon 1 = 0). On isole \lambda : \lambda = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y}, donc x = y.

Étape 4. Utiliser la contrainte. x^2 + x^2 = 2 donne x = \pm 1. Les candidats sont (1, 1) et (-1, -1).

Étape 5. Évaluer. f(1, 1) = 2 et f(-1, -1) = -2.

Le maximum vaut 2 en (1, 1) et le minimum vaut -2 en (-1, -1). Sur le graphique, les droites de niveau x + y = 2 et x + y = -2 touchent juste le cercle, tandis que toute droite intermédiaire, comme x + y = 0, le traverse franchement.

Exemple corrigé 2 : un produit sur une ellipse

Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = xy sur l'ellipse x^2 + 4y^2 = 8.

Étape 1. Gradients. \nabla f = \langle y, x \rangle et \nabla g = \langle 2x, 8y \rangle.

Étape 2. Le système.

Étape 3. Substituer. On remplace la deuxième équation dans la première : y = 2\lambda(8\lambda y) = 16\lambda^2 y, donc y(1 - 16\lambda^2) = 0.

• Cas y = 0. Alors x = 8\lambda \cdot 0 = 0, mais (0, 0) n'est pas sur l'ellipse. Pas de solution.
• Cas \lambda^2 = \frac{1}{16}. Alors \lambda = \pm\frac{1}{4}, et y = 2\lambda x = \pm\frac{x}{2}.

Étape 4. Utiliser la contrainte. Avec y = \pm\frac{x}{2}, on a 4y^2 = x^2, donc x^2 + x^2 = 8 et x = \pm 2. Cela donne quatre candidats : (2, 1), (-2, -1), (2, -1) et (-2, 1).

Étape 5. Évaluer.

Le maximum vaut 2, atteint en (2, 1) et (-2, -1). Le minimum vaut -2, atteint en (2, -1) et (-2, 1). Comme l'ellipse est fermée et bornée, leur existence est garantie.

Les lignes de niveau de xy sont des hyperboles. L'hyperbole xy = 2 est tangente à l'ellipse aux deux points de maximum, exactement comme le prévoit la condition de colinéarité des gradients.

Exemple corrigé 3 : le point d'un plan le plus proche de l'origine

Trouvez le point du plan x + 2y + 2z = 9 le plus proche de l'origine.

Étape 1. Choisir f. La distance vaut \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Minimiser la racine carrée revient à minimiser ce qu'il y a dessous, donc on prend f = x^2 + y^2 + z^2. La contrainte est g = x + 2y + 2z = 9.

Étape 2. Gradients. \nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle et \nabla g = \langle 1, 2, 2 \rangle.

Étape 3. Le système.

Étape 4. Tout exprimer en fonction de \lambda. x = \frac{\lambda}{2}, y = \lambda, z = \lambda.

Étape 5. Utiliser la contrainte.

Le point est donc (1, 2, 2), et f = 1 + 4 + 4 = 9, ce qui donne une distance de \sqrt{9} = 3.

Étape 6. Minimum ou maximum ? Il n'y a qu'un seul candidat, et un plan contient des points aussi loin de l'origine qu'on veut, donc il n'y a pas de maximum. Le seul candidat est forcément le minimum. Pour vérifier, la formule de la distance d'un point à un plan donne \frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3.

Que signifie lambda ?

Le multiplicateur n'est pas qu'une variable auxiliaire. \lambda est la vitesse à laquelle la valeur optimale varie quand la constante de contrainte c varie.

Vérifions-le sur l'exemple 1 avec un cercle quelconque x^2 + y^2 = c. Les mêmes étapes donnent un maximum en x = y = \sqrt{c/2}, de valeur f^* = 2\sqrt{c/2} = \sqrt{2c}. Alors

Et en (1, 1), l'équation 1 = 2\lambda x donnait \lambda = \frac{1}{2}. Les deux concordent. En économie, c'est le prix fictif : combien rapporte une unité supplémentaire d'une ressource limitée.

Erreurs fréquentes avec les multiplicateurs de Lagrange

1. Diviser par une variable qui peut être nulle. Dans l'exemple 2, diviser y = 16\lambda^2 y par y ferait disparaître le cas y = 0. Factorisez plutôt, et traitez chaque cas.
2. Oublier l'équation de contrainte. \nabla f = \lambda\nabla g seule a trop de solutions. Il faut g = c pour les déterminer.
3. S'arrêter avant d'évaluer f. Le système donne des candidats, pas des réponses.
4. Oublier des cas de signe. Les racines carrées donnent \pm. L'exemple 2 a quatre candidats, pas un seul.
5. Annoncer un maximum qui n'existe pas. Sur une contrainte non bornée comme une droite ou un plan, l'un des extremums peut ne pas exister. Justifiez lequel vous avez trouvé.
6. Optimiser la distance avec la racine carrée. Ça marche, mais les calculs sont bien plus simples avec le carré de la distance.

Mémo : multiplicateurs de Lagrange

Entraînez-vous aux calculs, maîtrisez la méthode

Dans un problème de Lagrange, l'analyse tient en une ligne. Le vrai travail consiste à résoudre le système sans perdre de cas, et cela ne devient fiable qu'avec de l'entraînement. La leçon interactive ci-dessous vous propose des problèmes sous contrainte à résoudre pas à pas, vérifie instantanément votre système et chaque point candidat, et vous montre tout cas oublié.