Problemas de otimização em cálculo: método em 5 passos com exemplos

Que dimensões dão a maior caixa, o maior terreno ou a lata mais barata? Esses são problemas de otimização, e é neles que as derivadas deixam de ser símbolos e começam a responder perguntas reais. No começo eles parecem difíceis, porque o cálculo é fácil, mas montar a função não é. Um método fixo de cinco passos elimina o chute.

O que é um problema de otimização?

Um problema de otimização pede o valor máximo ou mínimo de alguma grandeza, sujeita a uma condição. A grandeza que você quer tornar a maior ou a menor possível é a função objetivo. A condição que limita suas escolhas é a restrição.

O fato-chave do cálculo é que uma função suave só pode atingir um máximo ou mínimo no interior de um intervalo onde sua derivada é zero (ou não existe), ou então numa extremidade:

Então todo o trabalho é transformar um problema em palavras numa função de uma variável e depois encontrar e testar esses pontos candidatos.

O método de 5 passos para problemas de otimização

1. Desenhe e dê nomes. Esboce a situação e rotule cada grandeza que varia com uma variável.
2. Escreva o objetivo. Escreva uma fórmula para a grandeza a maximizar ou minimizar. Ela costuma ter duas variáveis.
3. Use a restrição para ficar com uma variável. Isole uma variável na restrição e substitua. Indique o domínio: quais valores fazem sentido físico?
4. Encontre os pontos críticos. Derive, iguale a derivada a zero e resolva.
5. Teste e responda. Confirme o máximo ou mínimo (extremidades, teste da primeira derivada ou teste da segunda derivada) e responda exatamente à pergunta, com unidades.

Exemplo resolvido 1: a maior caixa sem tampa

Uma folha quadrada de papelão tem 12 centímetros de lado. Você recorta quadrados iguais nos quatro cantos e dobra as laterais para formar uma caixa sem tampa. De que tamanho devem ser os quadrados para o volume ser máximo?

Passo 1. Desenhe e dê nomes. Seja x o lado de cada quadrado recortado. Ele vira a altura da caixa. A base é um quadrado de lado 12 - 2x, já que x é retirado de cada ponta.

Passo 2. Objetivo. O volume é a área da base vezes a altura:

Passo 3. Domínio. Aqui a restrição já está embutida, então V é função apenas de x. Não dá para recortar um quadrado negativo, nem mais do que metade do lado, então 0 \le x \le 6.

Passo 4. Pontos críticos. Use a regra do produto e a regra da cadeia:

V' = 0 em x = 6 e x = 2.

Passo 5. Teste. Compare os pontos críticos e as extremidades: V(0) = 0, V(6) = 0 e V(2) = 2\cdot 8^2 = 128.

Resposta: recorte quadrados de 2 centímetros. A caixa mede 8 por 8 por 2 centímetros, com volume de 128 centímetros cúbicos.

Exemplo resolvido 2: cercando um terreno à beira de um rio

Um fazendeiro tem 600 metros de cerca para cercar um terreno retangular à beira de um rio reto. Não é preciso cerca ao longo do rio. Que dimensões dão a maior área?

Passo 1. Desenhe e dê nomes. Seja x cada lado perpendicular ao rio e y o lado paralelo a ele.

Passo 2. Objetivo. Área A = xy.

Passo 3. Restrição. A cerca cobre dois lados de comprimento x e um de comprimento y: 2x + y = 600, então y = 600 - 2x. Substitua:

Passo 4. Pontos críticos. A'(x) = 600 - 4x = 0 dá x = 150.

Passo 5. Teste. A''(x) = -4 < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo e x = 150 é um máximo. As extremidades dão A(0) = A(300) = 0, o que confirma.

Resposta: os lados perpendiculares ao rio medem 150 metros e o lado ao longo do rio mede 600 - 300 = 300 metros, para uma área máxima de 45{,}000 metros quadrados.

Repare que a resposta não é um quadrado. Como o rio economiza um lado de cerca, compensa fazer o lado paralelo duas vezes mais comprido.

Exemplo resolvido 3: a lata que usa menos metal

Uma lata cilíndrica fechada precisa comportar 1000 centímetros cúbicos. Que raio e que altura minimizam a área da sua superfície?

Passo 1. Desenhe e dê nomes. Raio r e altura h, ambos em centímetros.

Passo 2. Objetivo. A superfície é formada pelas duas tampas circulares mais a lateral:

Passo 3. Restrição. O volume é fixo: \pi r^2 h = 1000, então h = \dfrac{1000}{\pi r^2}. Substitua:

Passo 4. Pontos críticos.

Passo 5. Teste. O domínio r > 0 não tem extremidades, então use a segunda derivada: S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 para todo r > 0. A curva tem concavidade para cima em toda parte, então esse ponto crítico é o mínimo absoluto.

Para a altura, use \pi r^3 = 500: h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84.

Resposta: r \approx 5.42 cm e h \approx 10.84 cm, cerca de 554 centímetros quadrados de metal. A melhor lata é exatamente tão alta quanto larga.

Por que verificar as extremidades importa

A derivada só encontra pontos de virada. Se o domínio for um intervalo fechado, o melhor valor pode estar numa borda onde a derivada nem é zero.

Encontre o máximo e o mínimo de f(x) = x^3 - 3x em [0, 3].

• f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 dá x = \pm 1. Só x = 1 está no intervalo.
• Calcule todos os candidatos: f(0) = 0, f(1) = -2, f(3) = 27 - 9 = 18.

O mínimo é -2 em x = 1, mas o máximo é 18 na extremidade x = 3. Só igualar a derivada a zero teria deixado isso passar por completo. Essa comparação entre pontos críticos e extremidades se chama método do intervalo fechado.

Dica: se o domínio for aberto (como r > 0 na lata), não há extremidades para verificar. Use o teste da segunda derivada, ou mostre que a função decresce e depois cresce, para provar que o ponto crítico é o melhor absoluto. Veja esboço de gráficos com derivadas para os dois testes.

Erros comuns em problemas de otimização

1. Derivar com duas variáveis. Você precisa usar a restrição para eliminar uma variável antes de derivar.
2. Pular o domínio. Sem ele você não consegue verificar as extremidades nem descartar respostas impossíveis como x = 6 no problema da caixa.
3. Supor que o ponto crítico é um máximo. Pode ser um mínimo. Sempre teste.
4. Responder à pergunta errada. Se a questão pede a área máxima, x = 150 não é a resposta; 45{,}000 metros quadrados é.
5. Esquecer as unidades. Uma resposta "2" está incompleta. Escreva "quadrados de 2 centímetros".
6. Deslizes algébricos na restrição. No problema da cerca, escrever 2x + 2y = 600 cerca também o lado do rio. Leia o enunciado com atenção.

Resumo rápido

Ganhe confiança praticando

Otimização recompensa a repetição mais do que quase qualquer outro tema, porque a parte difícil é a montagem, e as montagens seguem um punhado de padrões. A lição interativa abaixo conduz você por cada passo com feedback imediato, para você aprender a identificar rapidamente o objetivo, a restrição e o domínio antes de o relógio da prova começar a correr.