Lagrange-Multiplikatoren: Methode, Idee und Rechenbeispiele

Die meisten echten Optimierungsaufgaben haben einen Haken. Maximiere die Fläche, aber der Zaun hat eine feste Länge. Minimiere die Kosten, aber du musst eine feste Menge produzieren. Wenn die Variablen durch eine Nebenbedingung verbunden sind, reicht es nicht mehr, die partiellen Ableitungen null zu setzen. Lagrange-Multiplikatoren liefern dir ein übersichtliches Gleichungssystem, das die Lösung trotzdem findet.

Dieser Artikel erklärt die Methode, die Geometrie dahinter und drei vollständig durchgerechnete Beispiele, eines davon mit drei Variablen.

Was ist die Methode der Lagrange-Multiplikatoren?

Angenommen, du suchst das Maximum oder Minimum von f(x, y), aber nur über den Punkten, die eine Nebenbedingung g(x, y) = c erfüllen. Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren besagt: In jedem solchen Extrempunkt (mit \nabla g \ne \mathbf{0}) gibt es eine Zahl \lambda mit

Komponentenweise ausgeschrieben sind das drei Gleichungen für die drei Unbekannten x, y und \lambda:

Der griechische Buchstabe \lambda (Lambda) ist der Lagrange-Multiplikator. Bei drei Variablen kommt f_z = \lambda g_z hinzu, und die Nebenbedingung lautet g(x, y, z) = c.

Warum es funktioniert: Die Gradienten sind parallel

Stell dir die Nebenbedingung g(x, y) = c als Weg auf einer Landkarte vor und die Niveaulinien von f als Höhenlinien. Geh den Weg entlang und beobachte den Wert von f.

• Wo der Weg eine Höhenlinie schneidet, kannst du weitergehen und eine höhere Höhenlinie erreichen. Das ist kein Maximum.
• Am höchsten Punkt des Weges berührt der Weg eine Höhenlinie, ohne sie zu schneiden. Die beiden Kurven berühren sich tangential.

Zwei sich berührende Kurven haben im Berührpunkt dieselbe Tangente. Da ein Gradient senkrecht auf seiner eigenen Niveaulinie steht, stehen \nabla f und \nabla g beide senkrecht auf dieser gemeinsamen Tangente. Sie zeigen also entlang derselben Geraden, das heißt, der eine ist ein Vielfaches des anderen: \nabla f = \lambda \nabla g.

Lagrange-Multiplikatoren Schritt für Schritt anwenden

1. Bestimme die zu optimierende Funktion f und schreibe die Nebenbedingung als g = c.
2. Berechne \nabla f und \nabla g.
3. Stelle das System \nabla f = \lambda \nabla g, g = c auf.
4. Löse es. Ein zuverlässiger Trick: Löse jede Gradientengleichung nach \lambda auf und setze die Ergebnisse gleich, oder teile eine Gleichung durch eine andere, um \lambda zu eliminieren. Achte auf Fälle, in denen eine Variable 0 ist.
5. Werte f an jeder Lösung aus. Der größte Wert ist das Maximum und der kleinste das Minimum.

Tipp: Schritt 5 ist nicht optional. Die Gleichungen liefern Kandidaten, und erst der Vergleich der f-Werte sagt dir, welcher welcher ist.

Rechenbeispiel 1: Eine Gerade trifft einen Kreis

Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = x + y auf dem Kreis x^2 + y^2 = 2.

Schritt 1. Gradienten. \nabla f = \langle 1, 1 \rangle und mit g = x^2 + y^2 gilt \nabla g = \langle 2x, 2y \rangle.

Schritt 2. Das System.

Schritt 3. \lambda eliminieren. Weder \lambda noch x noch y kann 0 sein (sonst wäre 1 = 0). Löse nach \lambda auf: \lambda = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y}, also x = y.

Schritt 4. Die Nebenbedingung nutzen. x^2 + x^2 = 2 ergibt x = \pm 1. Die Kandidaten sind (1, 1) und (-1, -1).

Schritt 5. Auswerten. f(1, 1) = 2 und f(-1, -1) = -2.

Das Maximum ist 2 bei (1, 1) und das Minimum ist -2 bei (-1, -1). Im Graphen berühren die Niveaulinien x + y = 2 und x + y = -2 den Kreis gerade, während jede Gerade dazwischen, etwa x + y = 0, ihn glatt durchschneidet.

Rechenbeispiel 2: Ein Produkt auf einer Ellipse

Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = xy auf der Ellipse x^2 + 4y^2 = 8.

Schritt 1. Gradienten. \nabla f = \langle y, x \rangle und \nabla g = \langle 2x, 8y \rangle.

Schritt 2. Das System.

Schritt 3. Einsetzen. Setze die zweite Gleichung in die erste ein: y = 2\lambda(8\lambda y) = 16\lambda^2 y, also y(1 - 16\lambda^2) = 0.

• Fall y = 0. Dann ist x = 8\lambda \cdot 0 = 0, aber (0, 0) liegt nicht auf der Ellipse. Keine Lösung.
• Fall \lambda^2 = \frac{1}{16}. Dann ist \lambda = \pm\frac{1}{4} und y = 2\lambda x = \pm\frac{x}{2}.

Schritt 4. Die Nebenbedingung nutzen. Mit y = \pm\frac{x}{2} ist 4y^2 = x^2, also x^2 + x^2 = 8 und x = \pm 2. Das ergibt vier Kandidaten: (2, 1), (-2, -1), (2, -1) und (-2, 1).

Schritt 5. Auswerten.

Das Maximum ist 2, angenommen bei (2, 1) und (-2, -1). Das Minimum ist -2, angenommen bei (2, -1) und (-2, 1). Da die Ellipse geschlossen und beschränkt ist, existieren beide garantiert.

Die Niveaulinien von xy sind Hyperbeln. Die Hyperbel xy = 2 berührt die Ellipse in den beiden Maximumstellen, genau wie es die Bedingung paralleler Gradienten vorhersagt.

Rechenbeispiel 3: Der nächste Punkt auf einer Ebene

Bestimme den Punkt auf der Ebene x + 2y + 2z = 9, der dem Ursprung am nächsten liegt.

Schritt 1. f wählen. Der Abstand ist \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Die Wurzel zu minimieren ist dasselbe, wie ihren Radikanden zu minimieren, also nimm f = x^2 + y^2 + z^2. Die Nebenbedingung ist g = x + 2y + 2z = 9.

Schritt 2. Gradienten. \nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle und \nabla g = \langle 1, 2, 2 \rangle.

Schritt 3. Das System.

Schritt 4. Alles durch \lambda ausdrücken. x = \frac{\lambda}{2}, y = \lambda, z = \lambda.

Schritt 5. Die Nebenbedingung nutzen.

Der Punkt ist also (1, 2, 2), und f = 1 + 4 + 4 = 9, was einen Abstand von \sqrt{9} = 3 ergibt.

Schritt 6. Minimum oder Maximum? Es gibt nur einen Kandidaten, und eine Ebene hat Punkte, die beliebig weit vom Ursprung entfernt sind, also gibt es kein Maximum. Der einzige Kandidat muss das Minimum sein. Zur Kontrolle liefert die Abstandsformel Punkt-Ebene \frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3.

Was bedeutet Lambda?

Der Multiplikator ist nicht nur eine Hilfsvariable. \lambda ist die Rate, mit der sich der optimale Wert ändert, wenn sich die Konstante c der Nebenbedingung ändert.

Prüfe das an Beispiel 1 mit einem allgemeinen Kreis x^2 + y^2 = c. Dieselben Schritte liefern ein Maximum bei x = y = \sqrt{c/2} mit dem Wert f^* = 2\sqrt{c/2} = \sqrt{2c}. Dann gilt

Und bei (1, 1) lieferte die Gleichung 1 = 2\lambda x genau \lambda = \frac{1}{2}. Die Werte stimmen überein. In der Wirtschaftswissenschaft ist das der Schattenpreis: wie viel zusätzlichen Gewinn eine weitere Einheit einer knappen Ressource wert ist.

Typische Fehler bei Lagrange-Multiplikatoren

1. Durch eine Variable teilen, die null sein könnte. Würdest du in Beispiel 2 die Gleichung y = 16\lambda^2 y durch y teilen, ginge der Fall y = 0 verloren. Klammere stattdessen aus und behandle jeden Fall einzeln.
2. Die Nebenbedingung vergessen. \nabla f = \lambda\nabla g allein hat zu viele Lösungen. Du brauchst g = c, um sie festzulegen.
3. Aufhören, bevor f ausgewertet ist. Das System liefert Kandidaten, keine Antworten.
4. Vorzeichenfälle übersehen. Wurzeln ergeben \pm. Beispiel 2 hat vier Kandidaten, nicht einen.
5. Ein Maximum behaupten, das es nicht gibt. Auf einer unbeschränkten Nebenbedingung wie einer Geraden oder Ebene existiert eines der Extrema eventuell nicht. Begründe, welches du gefunden hast.
6. Den Abstand mit Wurzel optimieren. Das geht, aber die Rechnung ist mit dem Abstandsquadrat viel übersichtlicher.

Kurzübersicht: Lagrange-Multiplikatoren

Übe die Algebra, beherrsche die Methode

Die eigentliche Differentialrechnung in einer Lagrange-Aufgabe passt in eine Zeile. Die echte Arbeit besteht darin, das System zu lösen, ohne einen Fall zu verlieren, und das wird erst mit Übung zuverlässig. Die interaktive Lektion unten gibt dir Aufgaben mit Nebenbedingungen zum schrittweisen Lösen, prüft dein System und jeden Kandidaten sofort und zeigt dir jeden Fall, den du übersehen hast.