Série geométrica: fórmula da soma, convergência e exemplos
A fórmula da soma da série geométrica, por que ela só converge quando |r| < 1, como se comportam as somas parciais e como converter dízimas em frações.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
Nesta página
- O que é uma série geométrica?
- A fórmula da soma da série geométrica
- Quando uma série geométrica converge?
- Vendo as somas parciais se aproximarem do limite
- Exemplo resolvido 1: uma soma que começa em n = 1
- Exemplo resolvido 2: uma razão negativa
- Exemplo resolvido 3: uma série divergente
- Exemplo resolvido: uma soma geométrica finita
- Dízimas periódicas como séries geométricas
- Um exemplo do mundo real: a bola quicando
- Das séries geométricas às séries de potências
- Erros comuns com séries geométricas
- Referência rápida
- Pratique até a fórmula ficar automática
Some 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots para sempre. Infinitos termos positivos e, mesmo assim, o total nunca passa de 2. As séries geométricas são o único tipo de soma infinita que você consegue somar exatamente com uma única fórmula, e são a base de todo o resto do estudo de séries, dos testes de convergência às séries de potências.
O que é uma série geométrica?
Uma série geométrica é uma soma em que cada termo é o anterior multiplicado por um número fixo r, chamado de razão:
Aqui a é o primeiro termo. Para encontrar r, divida qualquer termo pelo anterior. Em 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, o primeiro termo é a = 1 e a razão é r = \frac12.
A fórmula da soma da série geométrica
A n-ésima soma parcial soma os n primeiros termos:
A soma infinita é o limite de S_n quando n \to \infty. Se |r| < 1, então r^n \to 0 e as somas parciais se estabilizam:
Um jeito prático de lembrar: soma = primeiro termo sobre um menos a razão.
De onde vem a fórmula
Escreva S_n, multiplique por r e subtraia:
Todos os termos do meio se cancelam, sobrando S_n - rS_n = a - ar^n. Coloque em evidência e divida:
Vale a pena lembrar esse truque da subtração. Ele funciona tanto para somas geométricas finitas quanto infinitas.
Quando uma série geométrica converge?
Tudo depende do tamanho de r:
| Razão | O que r^n faz | A série |
|---|---|---|
| \lvert r\rvert < 1 | encolhe até 0 | converge para \frac{a}{1-r} |
| r = 1 | fica igual a 1 | diverge (a + a + a + \cdots) |
| r = -1 | alterna entre 1 e -1 | diverge (as somas parciais oscilam) |
| \lvert r\rvert > 1 | cresce sem limitação | diverge |
(Supomos a \ne 0 o tempo todo.) Então uma série geométrica converge se e somente se |r| < 1. Essa regra limpa é o motivo de as séries geométricas serem usadas como referência nos testes da comparação e da razão.
Vendo as somas parciais se aproximarem do limite
Para 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, a fórmula da soma parcial dá S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n. Os primeiros valores são 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375. Cada um fecha metade da distância que falta até 2.
Quando r é negativo, as somas parciais alternam em torno do limite em vez de subir até ele. Em 1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots (com r = -\frac12), as somas parciais são 1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots, oscilando acima e abaixo da soma \frac{1}{1 + 1/2} = \frac23.
Exemplo resolvido 1: uma soma que começa em n = 1
Encontre \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n.
Passo 1. Encontre o primeiro termo. Substitua n = 1: a = 3\cdot\frac25 = \frac65.
Passo 2. Encontre a razão. Cada termo é multiplicado por \frac25, então r = \frac25.
Passo 3. Verifique a convergência. |r| = \frac25 < 1, então a série converge.
Passo 4. Aplique a fórmula.
Exemplo resolvido 2: uma razão negativa
Encontre \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}.
Passo 1. Reescreva na forma padrão. \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n.
Passo 2. Leia a e r. Em n = 0 o termo é \frac13, então a = \frac13 e r = -\frac23.
Passo 3. Verifique. |r| = \frac23 < 1. Converge.
Passo 4. Some.
Exemplo resolvido 3: uma série divergente
A série \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n} converge?
Ela é geométrica com a = 1 e r = \frac32. Como |r| > 1, os termos crescem e a série diverge. Substituir em \frac{a}{1-r} daria \frac{1}{1 - 3/2} = -2, uma resposta sem sentido. Sempre confira |r| < 1 antes de usar a fórmula.
Exemplo resolvido: uma soma geométrica finita
A fórmula da soma parcial funciona para qualquer soma geométrica finita, mesmo quando |r| > 1. Encontre 2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9.
Passo 1. Identifique a, r e n. O primeiro termo é a = 2, a razão é r = 3, e os expoentes vão de 0 a 9, então há n = 10 termos.
Passo 2. Aplique S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.
Contar os termos corretamente é a principal armadilha aqui: de 3^0 a 3^9 são dez termos, não nove.
Dízimas periódicas como séries geométricas
Toda dízima periódica é, no fundo, uma série geométrica, e é por isso que toda dízima periódica é uma fração.
Exemplo resolvido 4: 0,272727...
Aqui a = \frac{27}{100} e r = \frac{1}{100}, então
Exemplo resolvido 5: 0,999... é igual a 1
Isso não é uma aproximação. A dízima infinita e o 1 são o mesmo número.
Exemplo resolvido 6: uma dízima que começa a se repetir depois
Escreva 1.2\overline{3} = 1.2333\ldots como fração.
Separe a parte que não se repete: 1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots. A parte periódica é geométrica com a = \frac{3}{100} e r = \frac{1}{10}:
Então 1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}.
Um exemplo do mundo real: a bola quicando
Uma bola é solta de 10 metros, e cada quique atinge \frac34 da altura anterior. Qual é a distância total percorrida?
Passo 1. A primeira queda tem 10 metros.
Passo 2. Os quiques. A bola sobe até 7.5 m, depois 5.625 m, e assim por diante, uma série geométrica com a = 7.5 e r = \frac34. A soma é \frac{7.5}{1 - 3/4} = 30 metros.
Passo 3. Conte cada quique duas vezes, uma subindo e outra descendo: 2 \cdot 30 = 60 metros.
Passo 4. Total: 10 + 60 = 70 metros, embora a bola quique infinitas vezes.
Das séries geométricas às séries de potências
Troque a razão por uma variável e a fórmula da soma vira uma afirmação sobre funções:
Essa única identidade é a semente das séries de potências. Substitua x por -x e você obtém \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots. Substitua por -x^2 e obtém \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots, que, integrada termo a termo, dá a série de \arctan x. A condição |x| < 1 vem direto de |r| < 1, e é o primeiro exemplo de intervalo de convergência.
Erros comuns com séries geométricas
- Usar o primeiro termo errado. Quando a soma começa em n = 1 ou depois, a é o primeiro termo que você realmente soma, e não o coeficiente na frente.
- Aplicar a fórmula quando |r| \ge 1. A fórmula só funciona para séries convergentes. Uma "soma" negativa de termos positivos é um sinal de alerta.
- Ler a razão errado. Em \frac{2^n}{3^{n+1}}, a razão é \frac23, e não \frac{2}{3^{n+1}}. Reescreva os termos como a\cdot r^n primeiro.
- Esquecer o sinal em 1 - r. Com r = -\frac23, o denominador é 1 + \frac23.
- Confundir a sequência com a série. Os termos \left(\frac12\right)^n tendem a 0. A soma deles tende a 2.
Referência rápida
| Grandeza | Fórmula |
|---|---|
| Termo geral | ar^n (começando em n = 0) |
| Razão | r = \frac{\text{termo}_{n+1}}{\text{termo}_n} |
| n-ésima soma parcial | S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} |
| Soma infinita, \lvert r\rvert < 1 | \frac{a}{1-r} |
| Diverge quando | \lvert r\rvert \ge 1 |
Pratique até a fórmula ficar automática
As séries geométricas aparecem de novo e de novo: no teste da razão, nos argumentos de comparação e como ponto de partida para as séries de potências. Ficar rápido para encontrar a e r compensa pelo resto do curso. A lição interativa abaixo dá feedback imediato em cada passo, para que um primeiro termo errado ou um deslize de sinal sejam pegos na hora.
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