Geometrische Reihe: Summenformel, Konvergenz und Beispiele

Addiere 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots für immer. Unendlich viele positive Glieder, und trotzdem überschreitet die Summe nie 2. Geometrische Reihen sind die einzige Art unendlicher Summen, die du mit einer einzigen Formel exakt aufsummieren kannst, und sie sind die Grundlage für alles Weitere beim Thema Reihen, von Konvergenzkriterien bis zu Potenzreihen.

Was ist eine geometrische Reihe?

Eine geometrische Reihe ist eine Summe, bei der jedes Glied das vorherige Glied multipliziert mit einer festen Zahl r ist, dem Quotienten:

Dabei ist a das erste Glied. Um r zu finden, teilst du ein beliebiges Glied durch das vorherige. Bei 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots ist das erste Glied a = 1 und der Quotient r = \frac12.

Die Summenformel der geometrischen Reihe

Die n-te Partialsumme addiert die ersten n Glieder:

Die unendliche Summe ist der Grenzwert von S_n für n \to \infty. Ist |r| < 1, dann gilt r^n \to 0, und die Partialsummen pendeln sich ein:

Eine praktische Eselsbrücke: Summe = erstes Glied durch eins minus Quotient.

Woher die Formel kommt

Schreib S_n aus, multipliziere mit r und subtrahiere:

Alle mittleren Glieder heben sich auf, übrig bleibt S_n - rS_n = a - ar^n. Ausklammern und teilen:

Diesen Subtraktionstrick solltest du dir merken. Er funktioniert bei endlichen und unendlichen geometrischen Summen gleichermaßen.

Wann konvergiert eine geometrische Reihe?

Alles hängt vom Betrag von r ab:

(Wir nehmen durchgehend a \ne 0 an.) Eine geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn |r| < 1 ist. Wegen dieser klaren Regel dienen geometrische Reihen als Vergleichsmaßstab beim Vergleichs- und Quotientenkriterium.

Wie sich die Partialsummen dem Grenzwert nähern

Für 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots liefert die Formel für die Partialsummen S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n. Die ersten Werte sind 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375. Jeder schließt die Hälfte der verbleibenden Lücke zu 2.

Ist r negativ, pendeln die Partialsummen um den Grenzwert, statt auf ihn zuzusteigen. Bei 1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots (mit r = -\frac12) sind die Partialsummen 1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots, sie springen also über und unter die Summe \frac{1}{1 + 1/2} = \frac23.

Rechenbeispiel 1: eine Summe, die bei n = 1 beginnt

Bestimme \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n.

Schritt 1. Das erste Glied bestimmen. Setze n = 1 ein: a = 3\cdot\frac25 = \frac65.

Schritt 2. Den Quotienten bestimmen. Jedes Glied wird mit \frac25 multipliziert, also ist r = \frac25.

Schritt 3. Konvergenz prüfen. |r| = \frac25 < 1, die Reihe konvergiert also.

Schritt 4. Die Formel anwenden.

Rechenbeispiel 2: ein negativer Quotient

Bestimme \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}.

Schritt 1. In Standardform bringen. \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n.

Schritt 2. a und r ablesen. Bei n = 0 ist das Glied \frac13, also a = \frac13 und r = -\frac23.

Schritt 3. Prüfen. |r| = \frac23 < 1. Sie konvergiert.

Schritt 4. Summieren.

Rechenbeispiel 3: eine divergente Reihe

Konvergiert \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}?

Das ist eine geometrische Reihe mit a = 1 und r = \frac32. Da |r| > 1 ist, wachsen die Glieder, und die Reihe divergiert. Einsetzen in \frac{a}{1-r} würde \frac{1}{1 - 3/2} = -2 ergeben, eine bedeutungslose Antwort. Prüfe immer |r| < 1, bevor du die Formel verwendest.

Rechenbeispiel: eine endliche geometrische Summe

Die Formel für die Partialsummen funktioniert für jede endliche geometrische Summe, sogar für |r| > 1. Bestimme 2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9.

Schritt 1. a, r und n bestimmen. Das erste Glied ist a = 2, der Quotient ist r = 3, und die Exponenten laufen von 0 bis 9, es gibt also n = 10 Glieder.

Schritt 2. S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} anwenden.

Die Hauptfalle ist hier das richtige Zählen der Glieder: Von 3^0 bis 3^9 sind es zehn Glieder, nicht neun.

Periodische Dezimalzahlen als geometrische Reihen

Jede periodische Dezimalzahl ist insgeheim eine geometrische Reihe, und deshalb ist jede periodische Dezimalzahl ein Bruch.

Rechenbeispiel 4: 0,272727...

Hier ist a = \frac{27}{100} und r = \frac{1}{100}, also

Rechenbeispiel 5: 0,999... ist gleich 1

Das ist keine Näherung. Die unendliche Dezimalzahl und 1 sind dieselbe Zahl.

Rechenbeispiel 6: eine Dezimalzahl, deren Periode später beginnt

Schreib 1.2\overline{3} = 1.2333\ldots als Bruch.

Trenne den nicht periodischen Teil ab: 1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots. Der periodische Teil ist geometrisch mit a = \frac{3}{100} und r = \frac{1}{10}:

Also ist 1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}.

Ein Beispiel aus dem Alltag: der springende Ball

Ein Ball wird aus 10 Metern Höhe fallen gelassen, und jeder Sprung erreicht \frac34 der vorherigen Höhe. Welche Strecke legt er insgesamt zurück?

Schritt 1. Der erste Fall beträgt 10 Meter.

Schritt 2. Die Rücksprünge. Der Ball steigt auf 7.5 m, dann auf 5.625 m und so weiter, eine geometrische Reihe mit a = 7.5 und r = \frac34. Ihre Summe ist \frac{7.5}{1 - 3/4} = 30 Meter.

Schritt 3. Jeden Rücksprung doppelt zählen, einmal nach oben und einmal nach unten: 2 \cdot 30 = 60 Meter.

Schritt 4. Gesamt: 10 + 60 = 70 Meter, obwohl der Ball unendlich oft springt.

Von geometrischen Reihen zu Potenzreihen

Ersetze den Quotienten durch eine Variable, und die Summenformel wird zu einer Aussage über Funktionen:

Diese eine Identität ist der Keim der Potenzreihen. Setze -x für x ein, und du erhältst \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots. Setze -x^2 ein, und du erhältst \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots, was gliedweise integriert die Reihe für \arctan x ergibt. Die Bedingung |x| < 1 kommt direkt aus |r| < 1, und sie ist das erste Beispiel für ein Konvergenzintervall.

Typische Fehler bei geometrischen Reihen

1. Das falsche erste Glied verwenden. Beginnt die Summe bei n = 1 oder höher, ist a das erste Glied, das du tatsächlich addierst, nicht der Koeffizient davor.
2. Die Formel für |r| \ge 1 anwenden. Die Formel gilt nur für konvergente Reihen. Eine negative "Summe" aus positiven Gliedern ist ein Warnsignal.
3. Den Quotienten falsch ablesen. Bei \frac{2^n}{3^{n+1}} ist der Quotient \frac23, nicht \frac{2}{3^{n+1}}. Schreib die Glieder zuerst als a\cdot r^n.
4. Das Vorzeichen in 1 - r vergessen. Mit r = -\frac23 ist der Nenner 1 + \frac23.
5. Folge und Reihe verwechseln. Die Glieder \left(\frac12\right)^n gehen gegen 0. Ihre Summe geht gegen 2.

Kurzübersicht

Üben, bis die Formel automatisch sitzt

Geometrische Reihen tauchen immer wieder auf: beim Quotientenkriterium, in Vergleichsargumenten und als Ausgangspunkt für Potenzreihen. Wer a und r schnell findet, profitiert davon für den Rest des Kurses. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jedem Schritt sofort Rückmeldung, sodass ein falsches erstes Glied oder ein Vorzeichenfehler direkt auffällt.