Exercícios de integrais duplas resolvidos, com respostas

Estes exercícios de integrais duplas começam com retângulos e avançam para regiões gerais, inversão da ordem de integração, coordenadas polares, volume e valor médio. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A montagem para uma região entre duas curvas:

Calcule primeiro a integral de dentro, tratando x como constante. Para saber mais sobre regiões e ordem de integração, leia o guia de integrais duplas.

Exercícios

Retângulos

1. \displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx
2. \displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA, R = [0, 2]\times[0, 1]
3. \displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx

Regiões gerais

4. \displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx
5. \displaystyle\iint_R x\,dA, em que R é a região entre y = x^2 e y = x
6. Encontre a área entre y = x^2 e y = 4 com uma integral dupla.

Inverta a ordem

7. \displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy
8. \displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx

Coordenadas polares

9. \displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA, D o disco unitário
10. \displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA, D o disco x^2 + y^2 \le 4
11. Encontre o volume sob z = 4 - x^2 - y^2 e acima do plano xy.

Valor médio

12. Encontre o valor médio de f(x, y) = xy no quadrado [0, 2]\times[0, 2].

Respostas

Resolução passo a passo

1. Dentro: \int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}. Fora:

2. Em um retângulo, um produto g(x)h(y) se separa em duas integrais simples:

3. Separe de novo: \int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.

4. Dentro: \int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}. Fora: \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}.

5. As curvas se encontram em x = 0 e x = 1, com y = x em cima:

6. Com f = 1, a integral dupla é a área:

7. e^{x^2} não tem antiderivada elementar, então inverta a ordem. A região é 0 \le y \le x \le 1, um triângulo. Na outra ordem, x vai de 0 a 1 e y de 0 a x:

8. A região é 0 \le x \le y \le 1. Inverta para que y fique por fora:

9. Em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e dA = r\,dr\,d\theta:

10. Com u = r^2:

11. A superfície encontra o plano onde r = 2. Em coordenadas polares:

12. \iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4. A área do quadrado é 4, então o valor médio é \frac{4}{4} = 1.

Erros comuns nestes exercícios

• Limites de fora com variáveis. Depois das duas integrais, a resposta precisa ser um número. Se sobrar um x, os limites estão na ordem errada.
• Inverter a ordem sem redesenhar a região. No exercício 7, trocar os sinais de integral e manter os limites está errado. Esboce a região e leia os novos limites a partir dela.
• Esquecer o r em coordenadas polares. O exercício 9 sem o r extra dá \frac{2\pi}{3} em vez de \frac{\pi}{2}.
• Tratar a variável de fora como se variasse. Na integral de dentro do exercício 4, x é constante, então \int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a lição de integrais iteradas, a lição de inversão da ordem, a lição de regiões gerais e a lição de integrais duplas em coordenadas polares.