Exercícios de integração por substituição, com respostas

Estes exercícios de integração por substituição começam com funções internas fáceis de ver e avançam para logaritmos, volta à variável original e integrais definidas com novos limites. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

O método:

Faça u igual à função interna, encontre du, substitua tudo, integre e depois volte para x. Para revisar, leia a regra da integração por substituição.

Exercícios

A derivada já está ali

1. \displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx
2. \displaystyle\int \cos(3x)\,dx
3. \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx
4. \displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx

Logaritmos e trigonometria

5. \displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx
6. \displaystyle\int \tan x\,dx
7. \displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx
8. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx
9. \displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx

Voltando à variável

10. \displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx

Integrais definidas

11. \displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx

Respostas

Resolução passo a passo

1. Seja u = x^2 + 1, então du = 2x\,dx. É exatamente o que está na frente:

2. Seja u = 3x, então du = 3\,dx e dx = \frac{1}{3}du:

3. Seja u = x^2, então du = 2x\,dx e x\,dx = \frac{1}{2}du:

4. Seja u = x^3 + 1, então du = 3x^2\,dx e x^2\,dx = \frac{1}{3}du:

5. Seja u = \ln x, então du = \frac{1}{x}dx:

6. Escreva \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Seja u = \cos x, então du = -\sin x\,dx:

Isso é o mesmo que \ln|\sec x| + C. Veja a integral de tg x.

7. Seja u = \cos x, então \sin x\,dx = -du:

8. Seja u = 1 + e^x, então du = e^x\,dx. Como 1 + e^x > 0, não é preciso módulo:

9. Seja u = \ln x, então du = \frac{1}{x}dx. A integral vira \int\frac{1}{u}\,du:

10. Seja u = x + 1, então du = dx. Ainda sobra um x, então isole-o: x = u - 1. Assim:

Volte com u = x + 1 para obter a resposta da tabela.

11. Seja u = x^2 + 1, então x\,dx = \frac{1}{2}du. Troque os limites: x = 0 dá u = 1 e x = 2 dá u = 5:

12. Seja u = \sin x, então du = \cos x\,dx. Os limites viram u = 0 e u = 1:

Erros comuns nestes exercícios

• Deixar dx na integral. Depois da substituição, tudo precisa estar em termos de u e du. Um dx sobrando indica que falta um passo.
• Dividir por uma variável. Em \int e^{x^2}\,dx não há fator x, então u = x^2 não funciona. Dá para corrigir constantes, não variáveis.
• Manter os limites antigos. No exercício 11, integrar u^3 de 0 a 2 dá a resposta errada. Troque os limites ou volte para x antes.
• Esquecer de voltar para a variável original. Uma resposta indefinida precisa estar em termos de x.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com números novos e correção imediata, faça a lição de integração por substituição e a revisão de Cálculo 2. Para mais exemplos resolvidos, leia o guia de integração por substituição. Quando a substituição deixar de funcionar com produtos, siga para os exercícios de integração por partes.