A integral de cada função comum

Integral de uma constante \int k\,dx = kx + C A integral de uma constante k é kx + C, e a integral de 1 é x + C. Veja por quê, a interpretação como área, integrais definidas e os erros a evitar. Integral de x \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C A integral de x é x²/2 + C. Entenda o porquê com a regra da potência inversa e um triângulo, além de integrais definidas, a forma ax + b e erros comuns. Integral de x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C A integral de x² é x³/3 + C. Veja a regra da potência inversa, uma prova por somas de Riemann, integrais definidas, a forma (ax + b)² e erros comuns. Integral de √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C A integral de √x é (2/3)x^(3/2) + C. Reescreva a raiz como potência, confira derivando e veja √(ax + b), 1/√x e exemplos de integrais definidas. Integral de 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C A integral de 1/x é ln|x| + C. Veja por que a regra da potência falha aqui, de onde vem o módulo e como lidar com 1/(ax + b) e com f'/f. Integral de 1/x² \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C A integral de 1/x² é -1/x + C. Reescreva como x^(-2), confira derivando e veja integrais impróprias como de 1 ao infinito e a armadilha de -1 a 1. Integral de |x| \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C A integral de |x| é x|x|/2 + C. Veja como separar no zero, por que a resposta não é |x²/2| e como calcular integrais definidas como |x - 1| de 0 a 4. Integral de x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C A integral de x/(x² + 1) é ½ ln(x² + 1) + C. Veja a substituição passo a passo, por que o módulo não é necessário e integrais parecidas como 1/(x² + 1). Integral de 1/(x² - 1) \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C A integral de 1/(x² - 1) é ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Veja as frações parciais passo a passo, a fórmula geral de 1/(x² - a²) e integrais definidas resolvidas.

Integral de sen x \int \sin x\,dx = -\cos x + C A integral de sen x é -cos x + C. Veja de onde vem o sinal de menos, a área de um arco, sen(ax + b) por substituição e integrais definidas resolvidas. Integral de cos x \int \cos x\,dx = \sin x + C A integral de cos x é sen x + C. Veja por que não há sinal de menos, a área de um arco, cos(ax + b) por substituição e exemplos de integrais definidas. Integral de tg x \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C A integral de tg x é ln|sec x| + C, ou -ln|cos x| + C. Veja a substituição com u = cos x, por que as duas formas coincidem e integrais definidas resolvidas. Integral de sec x \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C A integral de sec x é ln|sec x + tg x| + C. Veja o truque de multiplicar por um passo a passo, as formas equivalentes, a verificação por derivação e exemplos. Integral de cossec x \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C A integral de cossec x é -ln|cossec x + cotg x| + C, ou ln|cossec x - cotg x| e ln|tg(x/2)|. Veja a dedução, por que as formas coincidem e exemplos. Integral de cotg x \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C A integral de cotg x é ln|sen x| + C. Veja a substituição com u = sen x, a relação com tg x, além de cotg(ax), cotg² x e exemplos de integrais definidas. Integral de sec² x \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C A integral de sec² x é tg x + C. Veja por que ela vem da derivada de tg x, a forma sec²(ax), integrais relacionadas como tg² x e cossec² x, e exemplos. Integral de sen² x \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C A integral de sen² x é x/2 - sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência passo a passo, a verificação por derivação, sen²(ax) e integrais definidas. Integral de cos² x \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C A integral de cos² x é x/2 + sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência, a verificação, cos²(ax) e a área do círculo. Integral de tg² x \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C A integral de tg² x é tg x - x + C. Veja como a identidade tg² x = sec² x - 1 faz todo o trabalho, além de tg²(ax), tg³ x e exemplos de integrais definidas. Integral de sec³ x \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C A integral de sec³ x é ½(sec x tg x + ln|sec x + tg x|) + C. Veja o ciclo da integração por partes passo a passo, a verificação e o comprimento de arco. Integral de sec x tg x \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C A integral de sec x tg x é sec x + C. Veja por que ela inverte a derivada de sec x, como reconhecê-la disfarçada de sen x/cos² x e exemplos com substituição. Integral de sen 2x \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C A integral de sen 2x é -cos(2x)/2 + C. Veja a substituição, por que sen² x + C e -cos² x + C também estão certas e exemplos de integrais definidas.

Integral de 1/(1+x²) \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C A integral de 1/(1+x²) é arctg x + C. Entenda o porquê com uma substituição por tangente, a versão 1/(a²+x²), um gráfico e exemplos resolvidos. Integral de 1/√(1−x²) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C A integral de 1/√(1−x²) é arcsen x + C. Veja a substituição por seno, a versão 1/√(a²−x²), um gráfico, integrais definidas e exemplos. Integral de √(1−x²) \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C A integral de √(1−x²) é ½(x√(1−x²) + arcsen x) + C. Aprenda a substituição trigonométrica, a ligação com a área do círculo e exemplos resolvidos. Integral de arctg x \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C A integral de arctg x é x arctg x − ½ ln(1+x²) + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação, integrais definidas e exemplos. Integral de arcsen x \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C A integral de arcsen x é x arcsen x + √(1−x²) + C. Aprenda a integração por partes passo a passo, a versão com arccos, um gráfico e exemplos resolvidos.

Integral de eˣ \int e^x\,dx = e^x + C A integral de eˣ é eˣ + C. Veja por que eˣ é sua própria primitiva, um gráfico da área, integrais definidas e impróprias e exemplos resolvidos. Integral de e²ˣ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C A integral de e^(2x) é ½e^(2x) + C e, em geral, ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Veja a substituição, um gráfico e exemplos resolvidos. Integral de e⁻ˣ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C A integral de e^(−x) é −e^(−x) + C. Veja a substituição, por que a área de 0 ao infinito é 1, um gráfico e exemplos como x e^(−x). Integral de e^(x²) \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C e^(x²) e e^(−x²) não têm primitiva elementar. Conheça as funções erf e erfi, a resposta em série de potências e por que ∫e^(−x²) em ℝ vale √π. Integral de 2ˣ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C A integral de 2ˣ é 2ˣ/ln 2 + C, e ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. Veja a dedução a partir de e^(x ln a), um gráfico, integrais definidas e exemplos. Integral de ln x \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C A integral de ln x é x ln x − x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação por derivação, um gráfico e exemplos como ln(2x) e (ln x)². Integral de 1/(x ln x) \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C A integral de 1/(x ln x) é ln|ln x| + C. Veja a substituição u = ln x, por que a integral imprópria diverge, um gráfico e exemplos resolvidos.

Integral de x eˣ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C A integral de x eˣ é (x − 1)eˣ + C. Veja a integração por partes passo a passo, por que u = x é a escolha certa, um gráfico e exemplos como x e^(2x). Integral de x ln x \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C A integral de x ln x é (x²/2) ln x − x²/4 + C. Veja a integração por partes com u = ln x passo a passo, a verificação, um gráfico e a fórmula de xⁿ ln x. Integral de x sen x \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C A integral de x sen x é sen x − x cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação por derivação, um gráfico e exemplos como x² sen x. Integral de x cos x \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C A integral de x cos x é x sen x + cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação, um gráfico, integrais definidas e x² cos x. Integral de eˣ sen x \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C A integral de eˣ sen x é ½eˣ(sen x − cos x) + C. Aprenda o truque de integrar duas vezes e isolar, a verificação, um gráfico e a fórmula de e^(ax) sen(bx). Integral de x² eˣ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C A integral de x² eˣ é (x² − 2x + 2)eˣ + C. Veja a integração por partes duas vezes, o atalho tabular, a verificação, um gráfico e o padrão de xⁿ eˣ.