Exercícios de derivadas parciais resolvidos, com respostas

Estes exercícios de derivadas parciais começam com derivadas parciais de primeira ordem e avançam para as de segunda ordem, gradiente, derivada direcional, plano tangente e pontos críticos. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A única ideia por trás de todos os exercícios:

Para as ideias com figuras, leia o guia de derivadas parciais e o guia do gradiente.

Exercícios

Derivadas parciais de primeira ordem

1. f(x, y) = x^3y^2 + 4xy. Encontre f_x e f_y.
2. f(x, y) = e^{xy}. Encontre f_x e f_y.
3. f(x, y) = \sin(x^2y). Encontre f_x e f_y.
4. f(x, y) = \ln(x^2 + y^2). Encontre f_x.
5. f(x, y) = \dfrac{x}{y}. Encontre f_x e f_y.
6. f(x, y, z) = xyz + z^2. Encontre f_z.

Derivadas de segunda ordem e valores

7. f(x, y) = x^2y^3. Encontre f_{xx}, f_{yy} e f_{xy}.
8. f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2. Encontre f_x(1, 2) e f_y(1, 2).

Gradiente e planos

9. Encontre \nabla f(2, 1) para f(x, y) = x^2y.
10. Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x^2y em (2, 1) na direção de \langle 3, 4\rangle.
11. Encontre o plano tangente a z = x^2 + y^2 em (1, 2, 5).
12. Encontre e classifique o ponto crítico de f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Para f_x, y^2 e 4y são constantes: f_x = 3x^2y^2 + 4y. Para f_y, x^3 e 4x são constantes: f_y = 2x^3y + 4x.

2. Regra da cadeia com função interna xy. Sua derivada em relação a x é y e em relação a y é x:

3. Regra da cadeia com função interna x^2y:

4. A derivada de \ln u é \frac{u'}{u}, e a derivada de x^2 + y^2 em relação a x é 2x:

5. Em relação a x, \frac{x}{y} é x vezes a constante \frac{1}{y}. Em relação a y, é x\cdot y^{-1}:

6. Trate x e y como constantes: f_z = xy + 2z.

7. Primeiro, f_x = 2xy^3 e f_y = 3x^2y^2. Depois:

Conferindo: f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2. Elas coincidem.

8. f_x = 2x + 3y, então f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8. f_y = 3x - 2y, então f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1.

9. f_x = 2xy e f_y = x^2. Em (2, 1): \nabla f = \langle 4, 4\rangle.

10. O comprimento de \langle 3, 4\rangle é 5, então o vetor unitário é \left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle:

11. f_x = 2x = 2 e f_y = 2y = 4 em (1, 2). O plano tangente é z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b):

12. Faça f_x = 2x - 4 = 0 e f_y = 2y + 6 = 0: (2, -3). O teste da segunda derivada dá D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0 com f_{xx} > 0, então é um mínimo local. O valor é 4 + 9 - 8 - 18 = -13.

Erros comuns nestes exercícios

• Derivar a variável que é constante. No exercício 1, em f_x a derivada de 4xy é 4y, e não 4y + 4x.
• Esquecer a regra da cadeia. No exercício 3, o fator 2xy vem da função interna x^2y.
• Usar uma direção que não é vetor unitário. No exercício 10, normalize \langle 3, 4\rangle primeiro.
• Confundir a ordem em f_{xy}. f_{xy} significa derivar primeiro em x e depois em y. Para funções suaves as duas ordens dão o mesmo resultado, o que serve de conferência.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a lição de derivadas parciais, a lição de derivadas de segunda ordem, a lição de plano tangente e a lição de gradiente. Para otimização com restrição, siga para os exercícios de multiplicadores de Lagrange.