Integral de e^(x²): por que não existe uma fórmula simples

e^{x^2} não tem primitiva elementar, e a curva de sino e^{-x^2} também não. Nenhuma fórmula construída com potências, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas tem qualquer uma delas como derivada. As primitivas existem mesmo assim, e têm nome:

E uma integral definida famosa tem valor exato:

Gráfico de e^(x²) e e^(−x²)

Por que os métodos usuais falham

• Substituição. u = x^2 exige du = 2x\,dx, e não há nenhum x para fornecê-lo. Compare com \int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C, que funciona.
• Dividir pela derivada de dentro. Esse atalho só vale quando a inclinação de dentro é constante, como na integral de e²ˣ. Aqui a inclinação 2x varia.
• Integração por partes. Toda escolha de u e dv leva a uma integral mais difícil.

Não é falta de sorte. Joseph Liouville demonstrou, na década de 1830, que \int e^{x^2}\,dx não pode ser escrita em termos elementares. Outras funções da mesma família incluem \frac{\sin x}{x} e \frac{1}{\ln x}.

A função erro

Como a primitiva existe mas não tem fórmula, ela ganha um nome próprio. A função erro é

O fator \frac{2}{\sqrt{\pi}} é escolhido para que \operatorname{erf}(x) \to 1 quando x \to \infty. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, sua derivada é \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, o que dá a fórmula acima. A função erro imaginária \operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt cumpre o mesmo papel para e^{x^2}.

A função erro está em toda parte na estatística, já que a distribuição normal é uma cópia esticada de e^{-x^2}. A função de distribuição normal da sua calculadora está calculando erf nos bastidores.

A resposta em série de potências

Sempre dá para obter uma primitiva como série. Parta de e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!} com u = x^2 e integre termo a termo:

A série converge para todo x. Para e^{-x^2} os sinais se alternam: x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots

Verificação por derivação. A derivada de \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} é \frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}, e a soma desses termos é e^{x^2}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma integral definida por série. Coloque x = 1 na série:

Exemplo 2: a curva de sino de 0 a 1. A série alternada dá

Como a série é alternada, o erro ao parar é menor que o primeiro termo deixado de fora.

Exemplo 3: a integral de Gauss. Chame I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx. Multiplique duas cópias, uma em x e outra em y, e passe para coordenadas polares, em que dx\,dy = r\,dr\,d\theta:

O r extra é exatamente o fator que faz u = r^2 funcionar. Então I = \sqrt{\pi}. A lição sobre integrais duplas em coordenadas polares trata da mudança de coordenadas.

Exemplo 4: uma curva de sino ajustada. Com x = \frac{t}{\sqrt{a}}, \int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} para a > 0.

Erros comuns

1. Escrever \frac{e^{x^2}}{2x} + C. Derive e você verá que não funciona.
2. Supor que toda integral tem fórmula. Algumas não têm. Numa prova, uma integral definida de e^{x^2} geralmente significa "use uma série" ou "use a calculadora".
3. Confundir e^{x^2} com (e^x)^2. (e^x)^2 = e^{2x}, cuja integral é \frac{1}{2}e^{2x}. Já e^{x^2} significa e elevado a x^2.
4. Esquecer o teste do x. Se o integrando for xe^{x^2} ou xe^{-x^2}, uma substituição simples funciona.

Para técnicas com séries, veja o guia de séries de Taylor. Para as exponenciais mais simples, veja a integral de eˣ e a integral de e⁻ˣ.