Integral de eˣ (e elevado a x): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de e^x é e^x + C. A exponencial natural é a única função (além de seus múltiplos) que é sua própria derivada, então ela também é sua própria primitiva.

Gráfico de eˣ com a área de 0 a 1

Por que a integral de eˣ é eˣ

Uma primitiva de f é qualquer função cuja derivada seja f. A derivada de eˣ é e^x, então e^x serve:

Essa é a demonstração inteira. O + C está ali porque toda constante tem derivada zero, então e^x + 5 e e^x - 2 também são primitivas. O guia de antiderivadas explica por que toda primitiva tem essa forma.

Passo a passo: integrais construídas a partir de eˣ

1. Tire as constantes para fora. \int 4e^x\,dx = 4e^x + C, pela regra da constante multiplicativa.
2. Separe as somas. \int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C.
3. Reescreva expoentes deslocados. e^{x+2} = e^2\cdot e^x, então \int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C.
4. Divida pela inclinação da expressão de dentro. Se o expoente é kx + b, a resposta é \frac{1}{k}e^{kx+b} + C. A página da integral de e²ˣ trata desse caso em detalhe.

Verificação por derivação

Para \frac{1}{k}e^{kx+b}, a regra da cadeia dá \frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}. O fator \frac{1}{k} é exatamente o que cancela o k da regra da cadeia.

Integrais definidas e impróprias

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a.

A última é uma integral imprópria. A cauda esquerda de e^x continua para sempre, mas encolhe tão rápido que sua área total é exatamente 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma soma. \displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C.

Exemplo 2: e na base e no expoente. \displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C. Junte expoentes só quando as bases forem iguais.

Exemplo 3: uma substituição. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx. Seja u = 1 + e^x, du = e^x\,dx:

Não é preciso módulo, já que 1 + e^x > 0.

Exemplo 4: o expoente é uma função. \displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx. Com u = x^2, du = 2x\,dx, isso é \int e^u\,du = e^{x^2} + C. Só funciona porque o 2x está ali. Sem ele, \int e^{x^2}\,dx não tem resposta elementar; veja a integral de e^(x²).

Exemplo 5: valor médio. O valor médio de e^x em [0, 1] é \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718.

Erros comuns

1. Usar a regra da potência. \int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}. A regra da potência vale para x^n, em que a variável está na base.
2. Esquecer de dividir por k. \int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C, e não e^{5x} + C.
3. Dividir por algo que não é constante. \int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}. Derive isso e você não obtém e^{x^2} de volta.
4. Esquecer o + C numa integral indefinida.

Para outras bases, como 2^x, veja a integral de 2ˣ. A página da função exponencial natural explica de onde vem o e.