Intégrale de e^(x²) : pourquoi il n'y a pas de formule simple

e^{x^2} n'a pas de primitive élémentaire, pas plus que la courbe en cloche e^{-x^2}. Aucune formule construite avec des puissances, des racines, des exponentielles, des logarithmes et des fonctions trigonométriques n'a l'une ou l'autre pour dérivée. Les primitives existent pourtant, et elles ont un nom :

Et une intégrale définie célèbre a une valeur exacte :

Graphique de e^(x²) et de e^(−x²)

Pourquoi les méthodes habituelles échouent

• Changement de variable. u = x^2 exige du = 2x\,dx, et il n'y a aucun x pour le fournir. Comparez avec \int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C, qui fonctionne.
• Diviser par la dérivée de l'intérieur. Ce raccourci ne marche que si la pente de l'intérieur est constante, comme pour l'intégrale de e²ˣ. Ici la pente 2x varie.
• Intégration par parties. Tout choix de u et dv mène à une intégrale plus difficile.

Ce n'est pas de la malchance. Joseph Liouville a démontré dans les années 1830 que \int e^{x^2}\,dx ne peut pas s'écrire à l'aide de fonctions élémentaires. D'autres fonctions de la même famille sont \frac{\sin x}{x} et \frac{1}{\ln x}.

La fonction d'erreur

Comme la primitive existe mais n'a pas de formule, on lui donne un nom. La fonction d'erreur est

Le facteur \frac{2}{\sqrt{\pi}} est choisi pour que \operatorname{erf}(x) \to 1 quand x \to \infty. D'après le théorème fondamental de l'analyse, première partie, sa dérivée vaut \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, ce qui donne la formule ci-dessus. La fonction d'erreur imaginaire \operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt joue le même rôle pour e^{x^2}.

La fonction d'erreur est omniprésente en statistiques, car la loi normale est une version étirée de e^{-x^2}. La fonction loi normale de votre calculatrice calcule erf en coulisses.

La solution en série entière

On peut toujours obtenir une primitive sous forme de série. On part de e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!} avec u = x^2, puis on intègre terme à terme :

La série converge pour tout x. Pour e^{-x^2}, les signes alternent : x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots

Vérification par dérivation. La dérivée de \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} est \frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}, et leur somme vaut e^{x^2}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une intégrale définie par les séries. On remplace x = 1 dans la série :

Exemple 2 : la courbe en cloche de 0 à 1. La série alternée donne

Comme la série est alternée, l'erreur commise en s'arrêtant est inférieure au premier terme omis.

Exemple 3 : l'intégrale de Gauss. Notons I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx. On multiplie deux copies, l'une en x et l'autre en y, puis on passe en coordonnées polaires, où dx\,dy = r\,dr\,d\theta :

Le r supplémentaire est exactement le facteur qui fait marcher u = r^2. Donc I = \sqrt{\pi}. La leçon sur les intégrales doubles en coordonnées polaires traite ce changement de coordonnées.

Exemple 4 : une courbe en cloche étirée. Avec x = \frac{t}{\sqrt{a}}, \int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} pour a > 0.

Erreurs fréquentes

1. Écrire \frac{e^{x^2}}{2x} + C. Dérivez-le et vous verrez que cela ne marche pas.
2. Supposer que toute intégrale a une formule. Certaines n'en ont pas. En contrôle, une intégrale définie de e^{x^2} signifie en général « utilisez une série » ou « utilisez la calculatrice ».
3. Confondre e^{x^2} et (e^x)^2. (e^x)^2 = e^{2x}, qui s'intègre en \frac{1}{2}e^{2x}. e^{x^2} signifie e élevé à la puissance x^2.
4. Oublier le test du x. Si la fonction est xe^{x^2} ou xe^{-x^2}, un simple changement de variable fonctionne.

Pour les techniques de séries, voir le guide des séries de Taylor. Pour les exponentielles plus simples, voir l'intégrale de eˣ et l'intégrale de e⁻ˣ.