Derivada da função inversa: fórmula e exemplos resolvidos
A regra da função inversa: a derivada de f⁻¹ em x é 1/f'(f⁻¹(x)). A fórmula, por que as inclinações são inversas, exemplos, arcsen e ln.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Uma função f injetora e diferenciável, nos pontos em que f'(f^{-1}(x)) \ne 0
- Forma pontual
- Se f(a) = b, então (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}
- Notação de Leibniz
- \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}
- Significado no gráfico
- Refletir em relação a y = x troca a variação vertical pela horizontal, então as inclinações se invertem
- Fornece
- As derivadas de \ln x, \sqrt{x}, \arcsin x e \arctan x
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A regra da função inversa dá a derivada de uma função inversa a partir da derivada da função original. Se f tem inclinação m no ponto (a, b), então f^{-1} tem inclinação \frac{1}{m} no ponto espelhado (b, a). Você não precisa de uma fórmula para a inversa para usá-la.
A fórmula da derivada da função inversa
Seja f injetora e diferenciável, com inversa f^{-1}. Se f'(f^{-1}(x)) \ne 0, então f^{-1} é diferenciável em x e
A forma pontual costuma ser mais fácil de usar. Se f(a) = b e f'(a) \ne 0:
Na notação de Leibniz, com y = f(x) e x = f^{-1}(y), isso fica \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
Por que a regra funciona
Parta da identidade f(f^{-1}(x)) = x e derive os dois lados usando a regra da cadeia:
Divida por f'(f^{-1}(x)) e você tem a regra. Geometricamente, refletir um gráfico em relação a y = x troca x e y, o que troca a variação vertical pela horizontal, então toda inclinação vira seu inverso.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: sem fórmula para a inversa. Seja f(x) = x^3 + x + 1, que é crescente e portanto injetora. Encontre (f^{-1})'(3).
Passo 1. Resolva f(a) = 3: a^3 + a + 1 = 3 dá a = 1.
Passo 2. Derive: f'(x) = 3x^2 + 1, então f'(1) = 4.
Passo 3. Tome o inverso: (f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}.
Exemplo 2: a derivada de \ln x. Aqui f(x) = e^x, f'(x) = e^x e f^{-1}(x) = \ln x:
Exemplo 3: a derivada de \arcsin x. Aqui f(x) = \sin x em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], então f'(x) = \cos x:
O último passo usa \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}, que é positivo nesse intervalo. Veja arco seno.
Exemplo 4: a derivada de \arctan x. Com f(x) = \tan x e f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x:
Derivadas que a regra produz
| Função f | Inversa f^{-1} | Derivada da inversa |
|---|---|---|
| x^2 para x \ge 0 | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| e^x | \ln x | \frac{1}{x} |
| \sin x | \arcsin x | \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \cos x | \arccos x | -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \tan x | \arctan x | \frac{1}{1 + x^2} |
Erros comuns
- Calcular f' na entrada errada. (f^{-1})'(b) usa f'(a) com f(a) = b, não f'(b). No Exemplo 1, f'(3) = 28 daria a resposta errada \frac{1}{28}.
- Confundir f^{-1} com \frac{1}{f}. f^{-1} é a função inversa, não o inverso multiplicativo. \sin^{-1}x significa \arcsin x, não \csc x.
- Ignorar onde f' = 0. Se f'(a) = 0, a inversa tem uma reta tangente vertical em b e não é diferenciável ali. Para f(x) = x^3, a inversa \sqrt[3]{x} não é diferenciável em 0.
O mesmo resultado também sai da derivação implícita: escreva x = f(y) e derive os dois lados. Para saber mais sobre \ln x e e^x, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
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