Arco-seno arcsen(x): Gráfico, Domínio, Imagem, Derivada e Integral

A função arco-seno desfaz a função seno: \arcsin x é o ângulo cujo seno é x. Como o seno se repete, ele não é injetor, então o arco-seno escolhe a única resposta em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. No cálculo, ele importa principalmente como primitiva de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Definição de arcsen x

Assim, \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, porque \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} e \frac{\pi}{6} está no intervalo permitido. A notação \sin^{-1}x significa a mesma coisa (no Brasil também se escreve arcsen x).

Gráfico de y = arcsen x

O gráfico é o trecho de y = \sin x em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] refletido em relação à reta y = x.

Valores notáveis do arco-seno

Propriedades do arco-seno

• Domínio [-1, 1], imagem \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Entradas fora de [-1, 1] não estão definidas, já que nenhum ângulo tem seno 2.
• Crescente. O arco-seno é estritamente crescente em todo o seu domínio.
• Ímpar. \arcsin(-x) = -\arcsin x.
• Cancelamento. \sin(\arcsin x) = x para todo x em [-1, 1], mas \arcsin(\sin x) = x somente para x em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
• Relação com o arco-cosseno. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. Veja arco-cosseno.

Derivada de arcsen x

Por quê. Seja y = \arcsin x, então \sin y = x. A derivação implícita dá \cos y \cdot y' = 1, logo y' = \frac{1}{\cos y}. Como y está em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \cos y \ge 0, e \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Este é um caso particular da regra da função inversa.

Em x = \pm 1 o denominador se anula, e é por isso que o gráfico tem tangentes verticais nas extremidades.

Integrais envolvendo o arco-seno

A fórmula da derivada, lida ao contrário, é a integral que você mais vai usar:

A integral do próprio arco-seno vem da integração por partes com u = \arcsin x, dv = dx:

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. Derive f(x) = \arcsin(3x):

Exemplo 2: uma integral definida. \int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Exemplo 3: usando a. \int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C.

Exemplo 4: composição. Simplifique \cos(\arcsin x). Se \theta = \arcsin x, então \sin\theta = x e \cos\theta \ge 0, logo \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}.

Erros comuns

1. Ler \sin^{-1}x como \frac{1}{\sin x}. O inverso multiplicativo é \csc x, tratado em funções trigonométricas recíprocas.
2. Dar um ângulo fora da imagem. \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}, e não \frac{7\pi}{6} ou \frac{11\pi}{6}.
3. Substituir |x| > 1. \arcsin 2 não existe como número real.
4. Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}, e não \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}.

Como o arco-seno se conecta a outros tópicos

O arco-seno é a base da substituição x = a\sin\theta na substituição trigonométrica, usada em integrais com \sqrt{a^2 - x^2}. Seus irmãos são o arco-cosseno e o arco-tangente, e as três derivadas são obtidas da mesma forma no guia de derivação implícita.