Regra da cadeia para derivadas: fórmula, exemplos e casos comuns
A regra da cadeia: a derivada de f(g(x)) é f'(g(x))·g'(x). A fórmula nas duas notações, tabela de casos comuns, exemplos resolvidos e erros.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Composições, uma função dentro de outra função
- Em palavras
- Derivada da função de fora (sem mexer na de dentro) vezes a derivada da função de dentro
- Notação de Leibniz
- \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
- Como reconhecer
- Qualquer coisa diferente de x sozinho dentro de uma potência, raiz, função trigonométrica, exponencial ou logaritmo
- Versão para integrais
- Integração por substituição (mudança de variável)
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A regra da cadeia deriva uma composição, uma função dentro de outra. Você deriva a função de fora, deixa a função de dentro como está e multiplica pela derivada da função de dentro. Quase toda derivada não trivial a utiliza.
A fórmula da regra da cadeia
Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em g(x), então
Na notação de Leibniz, com y = f(u) e u = g(x):
Pense em taxas que se multiplicam: se y varia 3 vezes mais rápido que u, e u varia 2 vezes mais rápido que x, então y varia 3 \cdot 2 = 6 vezes mais rápido que x.
Casos comuns da regra da cadeia
Aqui u é qualquer função diferenciável de x e u' é sua derivada.
| Função | Derivada |
|---|---|
| u^n | n\,u^{n-1}\,u' |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| e^u | e^u\,u' |
| \ln u | \frac{u'}{u} |
| \sin u | \cos u \cdot u' |
| \cos u | -\sin u \cdot u' |
| \tan u | \sec^2 u \cdot u' |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: potência de um polinômio. De fora: u^5. De dentro: u = x^2 + 1, u' = 2x:
Exemplo 2: trigonometria. De fora: \sin u. De dentro: u = 3x:
Exemplo 3: exponencial. De fora: e^u. De dentro: u = x^2:
Exemplo 4: uma raiz quadrada. Escreva \sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}:
Exemplo 5: logaritmo. De fora: \ln u. De dentro: u = \cos x:
Exemplo 6: três camadas. \sin^2(5x) significa [\sin(5x)]^2. Retire as camadas de fora para dentro: quadrado, depois seno, depois 5x:
Como reconhecer uma composição
Pergunte: "Para calcular isto num número, qual operação eu faria por último?" Essa última operação é a função de fora. Tudo aquilo sobre o que ela age é a função de dentro.
- (3x + 1)^4: o último passo é elevar à 4ª potência. A de dentro é 3x + 1.
- e^{\sin x}: o último passo é e^{(\ )}. A de dentro é \sin x.
- \sin x^2 normalmente significa \sin(x^2): a de dentro é x^2. Já \sin^2 x significa (\sin x)^2: a de dentro é \sin x.
Se a função de dentro é apenas x, a derivada de dentro é 1 e a regra da cadeia não muda nada.
Erros comuns
- Esquecer a derivada de dentro. \frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3, e não 4(3x + 1)^3. Este é o erro de derivação mais comum de todos.
- Alterar a função de dentro. A derivada de fora é calculada na função de dentro original: \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x, e não \cos(2x).
- Confundir com a regra do produto. \sin(x^2) é uma composição, enquanto x^2\sin x é um produto. Veja a regra do produto.
- Parar depois de uma camada. Em e^{\sin(2x)} há três camadas, e a resposta 2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)} precisa das três derivadas.
A regra da cadeia também é o motor por trás da derivação implícita, das taxas relacionadas e da integração por substituição. Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo da regra da cadeia.
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