Derivadas parciales: notación, significado y ejemplos resueltos
Aprende a calcular derivadas parciales, su significado como pendientes, las segundas parciales y por qué el teorema de Clairaut iguala las mixtas.
Por el equipo de PracticeCalculus Publicado 7 min de lectura
En esta página
- ¿Qué es una derivada parcial?
- Notación de las derivadas parciales
- Cómo calcular derivadas parciales
- Qué significa una derivada parcial: pendientes de trazas
- Segundas derivadas parciales
- El teorema de Clairaut: por qué coinciden las derivadas mixtas
- Errores comunes con las derivadas parciales
- Referencia rápida: derivadas parciales
- Vuélvelo automático con práctica
Una función como f(x, y) = x^2 y + y^3 depende de dos entradas a la vez, así que "la derivada" ya no es un solo número. Si mueves un poco x, la salida cambia de una manera. Si mueves un poco y, cambia de otra. Las derivadas parciales miden cada una de esas tasas por separado, y la buena noticia es que ya conoces todas las reglas que necesitas.
Esta guía explica qué significan las derivadas parciales, su notación, cómo calcularlas (también con la regla de la cadena), cómo leerlas como pendientes sobre una superficie, y las segundas derivadas parciales con el teorema de Clairaut.
¿Qué es una derivada parcial?
La derivada parcial de f respecto a x es la tasa de cambio de f cuando x cambia y todas las demás variables se mantienen constantes. Para una función de dos variables se define con un límite, igual que una derivada ordinaria:
En cada límite solo se mueve una variable. Esa es toda la idea: congela las demás y calcula una derivada normal.
Notación de las derivadas parciales
Verás varias notaciones equivalentes para lo mismo:
| Significado | Subíndice | Leibniz | Operador |
|---|---|---|---|
| tasa en la dirección de x | f_x | \frac{\partial f}{\partial x} | \partial_x f |
| tasa en la dirección de y | f_y | \frac{\partial f}{\partial y} | \partial_y f |
| valor en un punto | f_x(a, b) | \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)} |
Si z = f(x, y), también puedes ver \frac{\partial z}{\partial x} o z_x.
Cómo calcular derivadas parciales
La regla práctica: toda variable distinta de aquella respecto a la que derivas es una constante. Así que y^3, 5y y \sin y se comportan como números cuando calculas \frac{\partial}{\partial x}.
Ejemplo resuelto 1: un polinomio
Encuentra f_x y f_y para f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x.
Paso 1. Deriva respecto a x, con y constante.
- 3x^2 y: la constante 3y se queda tal cual, y x^2 pasa a 2x, lo que da 6xy.
- y^3: no tiene x, así que es una constante y su derivada es 0.
- -4x: su derivada es -4.
Paso 2. Deriva respecto a y, con x constante.
- 3x^2 y: la constante 3x^2 se queda tal cual, y y pasa a 1, lo que da 3x^2.
- y^3: su derivada es 3y^2.
- -4x: no tiene y, así que da 0.
Ejemplo resuelto 2: con la regla de la cadena
Encuentra f_x y f_y para f(x, y) = \sin(x^2 y).
La función externa es \sin u y la interna es u = x^2 y, así que la regla de la cadena se aplica igual que en el cálculo de una variable.
Paso 1. Respecto a x. La derivada interna es \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy.
Paso 2. Respecto a y. La derivada interna es \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2.
Ejemplo resuelto 3: un logaritmo y tres variables
Encuentra \frac{\partial f}{\partial x} para f(x, y) = \ln(x^2 + y^2), y luego g_z para g(x, y, z) = x y^2 z^3.
Paso 1. Para el logaritmo, deriva \ln u para obtener \frac{1}{u} y multiplica por \frac{\partial u}{\partial x} = 2x:
Paso 2. Con tres variables no cambia nada: mantén x y y fijas y deriva z^3.
Qué significa una derivada parcial: pendientes de trazas
La gráfica de z = f(x, y) es una superficie. Córtala con el plano vertical y = b y obtienes una curva, llamada traza, que depende solo de x: z = f(x, b). La derivada parcial f_x(a, b) es la pendiente de esa curva en x = a.
Toma la cúpula f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2 en el punto (1, 1), donde f(1, 1) = 3.
Paso 1. Corta con y = 1. La traza es z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2.
Paso 2. Deriva. f_x = -2x, así que f_x(1, 1) = -2. La traza baja con pendiente -2 cuando x aumenta.
Paso 3. Recta tangente en el corte. z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x.
Si cortas en la otra dirección, con x = 1, obtienes la traza z = 5 - 2y^2. Su pendiente en y = 1 es f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4. Así que en este punto la cúpula baja el doble de empinada en la dirección de y que en la dirección de x.
En términos aplicados, f_x responde "¿qué tan rápido cambia la salida por cada unidad de x, si no cambia nada más?". Si P(L, K) es la producción de una fábrica a partir del trabajo L y el capital K, entonces P_L es la producción adicional que se obtiene con una unidad más de trabajo y el capital fijo.
Segundas derivadas parciales
Cada primera derivada parcial vuelve a ser una función de x y y, así que puedes calcular sus parciales. Una función de dos variables tiene cuatro segundas derivadas parciales:
Las dos últimas son las derivadas parciales mixtas (o cruzadas). Lee los subíndices de izquierda a derecha: f_{xy} significa "primero x, luego y". La forma de Leibniz escribe las variables de derecha a izquierda, así que \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} también significa "primero x, luego y".
f_{xx} mide la concavidad de la traza en x, y f_{yy} la concavidad de la traza en y. En la cúpula de arriba, f_{xx} = -2 y f_{yy} = -4, ambas negativas, así que la superficie se curva hacia abajo en las dos direcciones.
Ejemplo resuelto 4: las cuatro segundas derivadas parciales
Encuentra todas las segundas derivadas parciales de f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4.
Paso 1. Primeras derivadas parciales.
Paso 2. Deriva f_x.
Paso 3. Deriva f_y.
Paso 4. Compara las derivadas mixtas. f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3. Coinciden.
El teorema de Clairaut: por qué coinciden las derivadas mixtas
Esa coincidencia del ejemplo 4 no fue suerte.
Teorema de Clairaut (o de Schwarz): si f_{xy} y f_{yx} son ambas continuas en un disco abierto alrededor de (a, b), entonces f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b).
Los polinomios, las exponenciales, los senos, los cosenos y sus combinaciones tienen derivadas parciales continuas donde están definidos, así que en la práctica el orden de derivación no importa. Eso te da dos ventajas prácticas:
- Una comprobación gratis. Calcula las dos derivadas mixtas. Si no coinciden, cometiste un error de cálculo.
- Un atajo. Elige el orden que sea más fácil. Para f(x, y) = y e^{x^2} + x, hallar f_{yx} es más rápido: f_y = e^{x^2}, así que f_{yx} = 2x e^{x^2}. Por Clairaut, f_{xy} es lo mismo.
Errores comunes con las derivadas parciales
- Derivar la variable "constante". En \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3), el y^3 se queda como y^3. La respuesta es 2xy^3, no 6xy^2.
- Conservar términos que deberían desaparecer. Cualquier término sin x, como y^3 o \sin y, tiene \frac{\partial}{\partial x} = 0.
- Usar la regla del producto cuando no hace falta. Al derivar respecto a x, x^2 y^3 es una constante por x^2, así que no se necesita la regla del producto.
- Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}, no e^{xy}.
- Confundir el orden en f_{xy} frente a \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}. Con Clairaut casi nunca cambia la respuesta, pero sí cambia el procedimiento que muestras.
Referencia rápida: derivadas parciales
| Función | f_x | f_y |
|---|---|---|
| x^m y^n | m x^{m-1} y^n | n x^m y^{n-1} |
| e^{xy} | y e^{xy} | x e^{xy} |
| \sin(xy) | y\cos(xy) | x\cos(xy) |
| \ln(x^2 + y^2) | \frac{2x}{x^2+y^2} | \frac{2y}{x^2+y^2} |
| \frac{x}{y} | \frac{1}{y} | -\frac{x}{y^2} |
| g(x) + h(y) | g'(x) | h'(y) |
Vuélvelo automático con práctica
Las derivadas parciales son la base de todo lo demás en el cálculo multivariable: el gradiente y las derivadas direccionales, los planos tangentes, la optimización y los multiplicadores de Lagrange. La lección interactiva de abajo te da funciones para derivar una variable a la vez, con retroalimentación al instante que te dice qué variable derivaste por error.
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