Multiplicadores de Lagrange: método, intuición y ejemplos resueltos

La mayoría de los problemas reales de optimización vienen con condiciones. Maximizar un área, pero la cerca tiene una longitud fija. Minimizar un costo, pero hay que producir una cantidad fija. Cuando las variables están ligadas por una restricción, igualar las derivadas parciales a cero ya no funciona. Los multiplicadores de Lagrange te dan un sistema de ecuaciones limpio que encuentra la respuesta de todos modos.

Esta guía explica el método, la geometría que hay detrás y tres ejemplos resueltos completos, incluido uno con tres variables.

¿Qué es el método de los multiplicadores de Lagrange?

Supón que quieres el máximo o el mínimo de f(x, y), pero solo entre los puntos que cumplen una restricción g(x, y) = c. El método de los multiplicadores de Lagrange dice que en cualquier punto extremo de ese tipo (donde \nabla g \ne \mathbf{0}) existe un número \lambda tal que

Escrito por componentes, son tres ecuaciones con las tres incógnitas x, y y \lambda:

La letra griega \lambda (lambda) es el multiplicador de Lagrange. Con tres variables, se agrega f_z = \lambda g_z y la restricción pasa a ser g(x, y, z) = c.

Por qué funciona: los gradientes son paralelos

Imagina la restricción g(x, y) = c como un camino dibujado en un mapa, y las curvas de nivel de f como las curvas de nivel del terreno. Recorre el camino y observa el valor de f.

• Donde el camino cruza una curva de nivel, puedes seguir caminando hacia una curva más alta. Eso no es un máximo.
• En el punto más alto del camino, el camino apenas toca una curva de nivel sin cruzarla. Las dos curvas son tangentes.

Dos curvas tangentes tienen la misma recta tangente en el punto de contacto. Como un gradiente es perpendicular a su propia curva de nivel, \nabla f y \nabla g son ambos perpendiculares a esa recta tangente común. Por lo tanto apuntan en la misma dirección, lo que significa que uno es múltiplo del otro: \nabla f = \lambda \nabla g.

Cómo usar los multiplicadores de Lagrange paso a paso

1. Identifica la función que vas a optimizar, f, y escribe la restricción como g = c.
2. Calcula \nabla f y \nabla g.
3. Plantea el sistema \nabla f = \lambda \nabla g, g = c.
4. Resuélvelo. Un truco confiable: despeja \lambda de cada ecuación del gradiente e iguala los resultados, o divide una ecuación entre otra para eliminar \lambda. Ten cuidado con los casos en que una variable vale 0.
5. Evalúa f en cada solución. El valor más grande es el máximo y el más pequeño es el mínimo.

Consejo: el paso 5 no es opcional. Las ecuaciones encuentran candidatos, y solo comparar los valores de f te dice cuál es cuál.

Ejemplo resuelto 1: una recta y una circunferencia

Encuentra el máximo y el mínimo de f(x, y) = x + y sobre la circunferencia x^2 + y^2 = 2.

Paso 1. Gradientes. \nabla f = \langle 1, 1 \rangle y, con g = x^2 + y^2, \nabla g = \langle 2x, 2y \rangle.

Paso 2. El sistema.

Paso 3. Elimina \lambda. Ni \lambda, ni x, ni y pueden ser 0 (o tendríamos 1 = 0). Despeja \lambda: \lambda = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y}, así que x = y.

Paso 4. Usa la restricción. x^2 + x^2 = 2 da x = \pm 1. Los candidatos son (1, 1) y (-1, -1).

Paso 5. Evalúa. f(1, 1) = 2 y f(-1, -1) = -2.

El máximo es 2 en (1, 1) y el mínimo es -2 en (-1, -1). En la gráfica, las rectas de nivel x + y = 2 y x + y = -2 apenas tocan la circunferencia, mientras que cualquier recta intermedia, como x + y = 0, la atraviesa.

Ejemplo resuelto 2: un producto sobre una elipse

Encuentra el máximo y el mínimo de f(x, y) = xy sobre la elipse x^2 + 4y^2 = 8.

Paso 1. Gradientes. \nabla f = \langle y, x \rangle y \nabla g = \langle 2x, 8y \rangle.

Paso 2. El sistema.

Paso 3. Sustituye. Lleva la segunda ecuación a la primera: y = 2\lambda(8\lambda y) = 16\lambda^2 y, así que y(1 - 16\lambda^2) = 0.

• Caso y = 0. Entonces x = 8\lambda \cdot 0 = 0, pero (0, 0) no está en la elipse. No hay solución.
• Caso \lambda^2 = \frac{1}{16}. Entonces \lambda = \pm\frac{1}{4}, y y = 2\lambda x = \pm\frac{x}{2}.

Paso 4. Usa la restricción. Con y = \pm\frac{x}{2}, se tiene 4y^2 = x^2, así que x^2 + x^2 = 8 y x = \pm 2. Eso da cuatro candidatos: (2, 1), (-2, -1), (2, -1) y (-2, 1).

Paso 5. Evalúa.

El máximo es 2, en (2, 1) y (-2, -1). El mínimo es -2, en (2, -1) y (-2, 1). Como la elipse es cerrada y acotada, ambos existen con seguridad.

Las curvas de nivel de xy son hipérbolas. La hipérbola xy = 2 es tangente a la elipse en los dos puntos de máximo, tal como predice la condición de gradientes paralelos.

Ejemplo resuelto 3: el punto de un plano más cercano al origen

Encuentra el punto del plano x + 2y + 2z = 9 más cercano al origen.

Paso 1. Elige f. La distancia es \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Minimizar la raíz cuadrada equivale a minimizar lo que está dentro, así que usa f = x^2 + y^2 + z^2. La restricción es g = x + 2y + 2z = 9.

Paso 2. Gradientes. \nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle y \nabla g = \langle 1, 2, 2 \rangle.

Paso 3. El sistema.

Paso 4. Escribe todo en función de \lambda. x = \frac{\lambda}{2}, y = \lambda, z = \lambda.

Paso 5. Usa la restricción.

Así que el punto es (1, 2, 2), y f = 1 + 4 + 4 = 9, lo que da una distancia de \sqrt{9} = 3.

Paso 6. ¿Es mínimo o máximo? Solo hay un candidato, y un plano tiene puntos tan lejos del origen como se quiera, así que no hay máximo. El único candidato tiene que ser el mínimo. Como comprobación, la fórmula de la distancia de un punto a un plano da \frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3.

¿Qué significa lambda?

El multiplicador no es solo una variable auxiliar. \lambda es la tasa a la que cambia el valor óptimo cuando cambia la constante c de la restricción.

Compruébalo en el ejemplo 1 con una circunferencia general x^2 + y^2 = c. Los mismos pasos dan un máximo en x = y = \sqrt{c/2}, con valor f^* = 2\sqrt{c/2} = \sqrt{2c}. Entonces

Y en (1, 1), la ecuación 1 = 2\lambda x dio \lambda = \frac{1}{2}. Coinciden. En economía esto es el precio sombra: cuánta ganancia adicional vale una unidad extra de un recurso limitado.

Errores comunes con los multiplicadores de Lagrange

1. Dividir entre una variable que podría ser cero. En el ejemplo 2, dividir y = 16\lambda^2 y entre y escondería el caso y = 0. Factoriza en su lugar y trata cada caso.
2. Olvidar la ecuación de la restricción. \nabla f = \lambda\nabla g por sí sola tiene demasiadas soluciones. Necesitas g = c para fijarlas.
3. Detenerte antes de evaluar f. El sistema da candidatos, no respuestas.
4. Perder casos de signo. Las raíces cuadradas dan \pm. El ejemplo 2 tiene cuatro candidatos, no uno.
5. Afirmar un máximo que no existe. Sobre una restricción no acotada, como una recta o un plano, puede que uno de los extremos no exista. Justifica cuál encontraste.
6. Optimizar la distancia con la raíz cuadrada. Funciona, pero el álgebra es mucho más limpia con la distancia al cuadrado.

Referencia rápida: multiplicadores de Lagrange

Practica el álgebra y domina el método

El cálculo en un problema de Lagrange ocupa una línea. El verdadero trabajo es resolver el sistema sin perder ningún caso, y eso solo se vuelve confiable con práctica. La lección interactiva de abajo te da problemas con restricciones para resolver paso a paso, revisa al instante tu sistema y cada punto candidato, y te muestra cualquier caso que se te haya escapado.