Series de Taylor y de Maclaurin: fórmula, ejemplos y cota del error
Aprende las fórmulas de las series de Taylor y de Maclaurin, las cuatro series clave, cómo crear series nuevas y cómo acotar el error de un polinomio de Taylor.
Por el equipo de PracticeCalculus Publicado 7 min de lectura
En esta página
- ¿Qué es una serie de Taylor?
- Cómo hallar una serie de Taylor paso a paso
- Ejemplo resuelto 1: la serie de Maclaurin de e^x
- Ejemplo resuelto 2: la serie de Maclaurin de sen x
- Ejemplo resuelto 3: una serie de Taylor centrada en a = 1
- Las cuatro series de Maclaurin que debes memorizar
- Ejemplo resuelto 4: construir series nuevas a partir de las cuatro clave
- Los polinomios de Taylor como aproximaciones
- El resto de Taylor: ¿qué tan grande es el error?
- Ejemplo resuelto 5: estimar sen(0,5) con una cota del error
- Errores comunes con las series de Taylor
- La práctica convierte las fórmulas en instinto
Tu calculadora te da \sin(0.5) al instante, pero \sin no es algo que puedas calcular con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Las series de Taylor son la forma de convertir una función como \sin x, e^x o \ln x en un polinomio que de verdad puedes evaluar, y aparecen en todas partes, desde la física hasta el interior de esa calculadora.
Esta guía te da las fórmulas de Taylor y de Maclaurin, las cuatro series que vale la pena memorizar, cómo construir series nuevas sin calcular derivadas y cómo acotar el error cuando te detienes después de unos pocos términos.
¿Qué es una serie de Taylor?
Una serie de Taylor reescribe una función como un polinomio infinito centrado en un punto a. Los coeficientes salen de las derivadas de f en a:
Una serie de Maclaurin es el caso particular a = 0:
La idea es sencilla. El primer término coincide con el valor de f en a. Al agregar el segundo término también coincide la pendiente, lo que da la recta tangente de la aproximación lineal. El tercer término hace coincidir la concavidad, y así sucesivamente. Cada término nuevo copia una derivada más.
Si te detienes después del término (x-a)^n, obtienes el polinomio de Taylor de grado n, que se escribe T_n(x).
Cómo hallar una serie de Taylor paso a paso
- Calcula f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots hasta que veas un patrón.
- Divide el valor de la derivada n-ésima entre n! para obtener el coeficiente c_n.
- Escribe la serie \sum c_n (x-a)^n, usando el patrón para el término general.
- Si te lo piden, encuentra el intervalo de convergencia con el criterio del cociente, como en nuestra guía de series de potencias.
Ejemplo resuelto 1: la serie de Maclaurin de e^x
Paso 1. Calcula las derivadas. Todas las derivadas de e^x son e^x, así que f^{(n)}(0) = e^0 = 1 para todo n.
Paso 2. Construye los coeficientes. c_n = \frac{1}{n!}.
Paso 3. Escribe la serie.
El criterio del cociente da \frac{|x|}{n+1} \to 0, así que esto funciona para todo x real. Sustituye x = 1 y obtienes una forma rápida de calcular e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718.
Ejemplo resuelto 2: la serie de Maclaurin de sen x
Paso 1. Calcula las derivadas y evalúalas en 0.
| n | f^{(n)}(x) | f^{(n)}(0) |
|---|---|---|
| 0 | \sin x | 0 |
| 1 | \cos x | 1 |
| 2 | -\sin x | 0 |
| 3 | -\cos x | -1 |
| 4 | \sin x | 0 |
Los valores se repiten en el ciclo 0, 1, 0, -1 para siempre.
Paso 2. Quédate solo con los términos no nulos. Las potencias pares desaparecen. Las potencias impares alternan el signo, con n! debajo.
Paso 3. Escribe la serie.
Los mismos pasos para \cos x dan en cambio las potencias pares:
Una comprobación rápida: \sin x es impar y su serie solo tiene potencias impares. \cos x es par y su serie solo tiene potencias pares.
Así se ven los polinomios de Taylor de \sin x. Cada término extra se ajusta a la curva en un tramo más amplio.
Ejemplo resuelto 3: una serie de Taylor centrada en a = 1
Encuentra la serie de Taylor de f(x) = \ln x centrada en a = 1.
Paso 1. Calcula las derivadas.
El patrón para n \ge 1 es f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.
Paso 2. Evalúa en a = 1. f(1) = 0 y f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)! para n \ge 1.
Paso 3. Divide entre n!. Como \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}, el coeficiente es c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Paso 4. Escribe la serie.
Converge para 0 < x \le 2.
Las cuatro series de Maclaurin que debes memorizar
| Función | Serie de Maclaurin | Válida para |
|---|---|---|
| e^x | \sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots | todo x |
| \sin x | \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots | todo x |
| \cos x | \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots | todo x |
| \frac{1}{1-x} | \sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots | -1 < x < 1 |
Con estas cuatro a mano puedes saltarte las derivadas en la mayoría de las preguntas de examen.
Ejemplo resuelto 4: construir series nuevas a partir de las cuatro clave
Puedes sustituir, multiplicar, derivar e integrar series término a término, dentro de su intervalo de convergencia.
Sustituir. Para e^{-x^2}, reemplaza x por -x^2 en la serie de e^x:
Multiplicar. Para x\cos x, multiplica cada término de la serie del coseno por x:
Integrar. Reemplaza x por -x^2 en \frac{1}{1-x} para obtener
Como \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x, integra término a término:
Cada una de estas habría requerido muchas derivadas si la calcularas directamente.
Los polinomios de Taylor como aproximaciones
Rara vez necesitas toda la serie infinita. Unos pocos términos ya dan una aproximación excelente cerca del centro, y por eso los físicos reemplazan \sin\theta por \theta en la oscilación pequeña de un péndulo y \cos\theta por 1 - \frac{\theta^2}{2}.
Por ejemplo, T_2 para \cos x en 0 da \cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98. El valor real es 0.980067, así que dos términos ya son correctos hasta la cuarta cifra decimal. Cuanto más te alejas del centro, más términos necesitas para la misma precisión, y la cota del resto que veremos abajo te dice exactamente cuántos.
El resto de Taylor: ¿qué tan grande es el error?
Cuando reemplazas f por T_n, el error es el resto R_n(x) = f(x) - T_n(x). La desigualdad de Taylor lo acota:
donde M es cualquier número tal que |f^{(n+1)}(t)| \le M para todo t entre a y x.
Léela así: el error lo controlan la siguiente derivada, el siguiente factorial y qué tan lejos estás del centro. Estar cerca de a y usar más términos lo reducen.
Ejemplo resuelto 5: estimar sen(0,5) con una cota del error
Estima \sin(0.5) con T_3 y acota el error.
Paso 1. Evalúa el polinomio.
Paso 2. Encuentra M. La cuarta derivada de \sin x es \sin x, y |\sin t| \le 1, así que M = 1.
Paso 3. Aplica la cota con n = 3.
Así que \sin(0.5) está a menos de 0.0026 de 0.47917. El valor real es 0.47943, y el error real es de unos 0.00026, bien dentro de la cota.
Consejo: para \sin x el coeficiente de x^4 es 0, así que T_3 = T_4. Usar n = 4 en la cota da \frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026, una estimación mucho más fina.
Como esta serie es alternada con términos decrecientes, la estimación de las series alternadas da la misma respuesta fina: el error es como mucho el primer término que omitiste, \frac{(0.5)^5}{120}.
Errores comunes con las series de Taylor
- Olvidar el factorial. El coeficiente es \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, no solo f^{(n)}(a).
- Usar potencias de x cuando a \ne 0. Una serie centrada en 1 va en potencias de (x - 1).
- Confundir seno y coseno. El seno es impar y empieza con x. El coseno es par y empieza con 1.
- Calcular derivadas cuando basta con sustituir. Para e^{3x}, simplemente reemplaza x por 3x en la serie de e^x.
- Ignorar el intervalo de convergencia. La serie de \frac{1}{1-x} no sirve de nada en x = 2.
- Usar la derivada equivocada en la cota del error. La cota para T_n necesita una cota de f^{(n+1)}, una derivada más allá del último término que conservaste.
La práctica convierte las fórmulas en instinto
Una vez que memorizas las cuatro series clave y construyes algunas series por sustitución, las series de Taylor dejan de parecer un muro de factoriales. La lección interactiva de abajo te da series para construir y aproximaciones para comprobar, con retroalimentación al instante en cada coeficiente para que veas exactamente qué término salió mal.
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