Series de potencias: radio e intervalo de convergencia, con ejemplos

Ya sabes decidir si una serie de números converge. Una serie de potencias le agrega un giro: tiene una x en cada término, así que converge para algunos valores de x y diverge para otros. Tu trabajo es encontrar exactamente cuáles, y el criterio del cociente hace casi todo el trabajo.

Esta guía te muestra cómo hallar el radio y el intervalo de convergencia paso a paso, por qué los extremos requieren cuidado extra, y cinco ejemplos resueltos que cubren todos los casos que te encontrarás en un examen.

¿Qué es una serie de potencias?

Una serie de potencias centrada en a es una suma infinita de potencias de (x - a), cada una con su propio coeficiente:

Piénsala como un polinomio que nunca termina. Para cada número que sustituyes en x, obtienes una serie numérica ordinaria, que converge o diverge.

El ejemplo más famoso es la serie geométrica

Funciona perfectamente dentro de (-1, 1) y falla en todos los demás puntos. Ese patrón, un intervalo limpio alrededor del centro, se cumple en toda serie de potencias.

Radio de convergencia: las tres posibilidades

Para toda serie de potencias centrada en a, se cumple exactamente una de estas opciones:

1. Converge solo en x = a. El radio es R = 0.
2. Converge para todo x. El radio es R = \infty.
3. Existe un número R > 0 tal que converge cuando |x - a| < R y diverge cuando |x - a| > R.

El número R es el radio de convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los x donde la serie converge. En el caso 3 es el intervalo de a - R a a + R, más los extremos que resulten funcionar.

Cómo hallar el radio de convergencia con el criterio del cociente

El criterio del cociente dice que una serie \sum b_n converge absolutamente si \lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1 y diverge si ese límite es mayor que 1. Aplícalo a los términos b_n = c_n (x-a)^n:

Luego plantea L < 1 y despeja |x - a|. La receta:

1. Escribe el cociente \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| y simplifícalo. Las potencias de (x - a) se cancelan hasta quedar un solo |x - a|.
2. Calcula el límite cuando n \to \infty. La x se queda quieta porque no depende de n.
3. Resuelve L < 1. Obtienes |x - a| < R.
4. Revisa los dos extremos x = a - R y x = a + R sustituyéndolos.

Por qué los extremos necesitan una revisión aparte

En x = a \pm R el límite del criterio del cociente vale exactamente 1, y un límite de 1 no te dice nada. La serie podría converger o diverger, y los dos extremos no tienen por qué coincidir. Así que en cada extremo sustituyes el número en la serie y usas otro criterio: el de las series p, el de las series alternadas, el del término n-ésimo o uno de comparación. Si necesitas repasarlos, consulta nuestra guía de criterios de convergencia.

Consejo: nunca te saltes los extremos. Una respuesta de (-1, 1) cuando lo correcto es [-1, 1) se califica como incorrecta, aunque el radio esté bien.

Ejemplo resuelto 1: extremos que no coinciden

Encuentra el intervalo de convergencia de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}.

Paso 1. Plantea el cociente.

Paso 2. Calcula el límite. Como \frac{n}{n+1} \to 1, obtenemos L = |x|.

Paso 3. Resuelve L < 1. La serie converge para |x| < 1, así que R = 1.

Paso 4. Revisa los extremos.

• En x = 1 la serie es \sum \frac{1}{n}, la serie armónica, que diverge.
• En x = -1 la serie es \sum \frac{(-1)^n}{n}, la serie armónica alternada, que converge por el criterio de las series alternadas.

El intervalo de convergencia es [-1, 1).

Ejemplo resuelto 2: una serie que no está centrada en 0

Encuentra el intervalo de convergencia de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}.

Paso 1. Plantea el cociente.

Paso 2. Calcula el límite. La fracción \frac{n^2}{(n+1)^2} tiende a 1, así que L = \frac{|x-3|}{2}.

Paso 3. Resuelve L < 1. Necesitamos |x - 3| < 2, así que R = 2 y el intervalo abierto es 1 < x < 5.

Paso 4. Revisa los extremos.

• En x = 5: (x-3)^n = 2^n, y la serie se convierte en \sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}, una serie p con p = 2. Converge.
• En x = 1: (x-3)^n = (-2)^n, y la serie se convierte en \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. Converge absolutamente, porque \sum \frac{1}{n^2} converge.

El intervalo de convergencia es [1, 5]. Observa que el centro es 3 y el intervalo se extiende 2 unidades hacia cada lado.

Ejemplo resuelto 3: los dos extremos divergen

Encuentra el intervalo de convergencia de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}.

Paso 1. Plantea el cociente.

Paso 2. Calcula el límite. L = \frac{|x+1|}{4}.

Paso 3. Resuelve L < 1. |x + 1| < 4, así que R = 4 y el centro es a = -1. Eso da -5 < x < 3.

Paso 4. Revisa los extremos.

• En x = 3: la serie es \sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n. Los términos crecen, así que diverge por el criterio del término n-ésimo.
• En x = -5: la serie es \sum n(-1)^n. Los términos no tienden a 0, así que también diverge.

El intervalo de convergencia es (-5, 3).

Cuidado con el centro. En (x + 1)^n el centro es a = -1, no 1. Reescríbelo como (x - (-1))^n si te ayuda.

Ejemplo resuelto 4: radio infinito y radio cero

Los factoriales llevan el radio a uno de los dos extremos.

Serie A: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

El límite es 0 para todo x, y siempre 0 < 1. Así que R = \infty y el intervalo es (-\infty, \infty). No hay extremos que revisar. (Esta serie es igual a e^x, como verás en nuestra guía de series de Taylor.)

Serie B: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n.

Si x \ne 0, esto crece sin límite, así que la serie diverge. Solo converge en el centro. Así que R = 0 y el "intervalo" es el punto único \{0\}.

Ejemplo resuelto 5: un coeficiente en la x

Encuentra el radio de convergencia de \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}.

Paso 1. Plantea el cociente. El cociente de términos consecutivos es \frac{|2x - 1|}{5}, sin ninguna n, así que L = \frac{|2x-1|}{5}.

Paso 2. Resuelve L < 1. |2x - 1| < 5. Saca el 2 como factor para llevarlo a la forma |x - a| < R:

Así que el centro es a = \frac{1}{2} y el radio es R = \frac{5}{2}, no 5. El intervalo abierto es -2 < x < 3.

Paso 3. Revisa los extremos. En x = 3 la serie es \sum 1^n, y en x = -2 es \sum (-1)^n. En ninguna de las dos los términos tienden a 0, así que ambas divergen. El intervalo es (-2, 3).

Errores comunes con las series de potencias

1. Olvidar los extremos. Es el punto que más se pierde. El criterio del cociente nunca los decide.
2. Leer mal el centro. (x + 2)^n está centrada en -2, y (3x - 6)^n está centrada en 2.
3. No sacar como factor el coeficiente de x. De |2x - 1| < 5 el radio es \frac{5}{2}. Reescribe siempre primero como |x - a| < R.
4. Quitar el valor absoluto. El criterio del cociente usa |x - a|. Sin él pierdes la mitad izquierda del intervalo.
5. Dejar que x "tienda a infinito" junto con n. En el límite, x es un número fijo. Solo cambia n.
6. Usar el resultado del criterio del cociente en un extremo. En un extremo necesitas otro criterio, aplicado a la serie con el número ya sustituido.

Referencia rápida: radio e intervalo de convergencia

Un patrón útil de las tres primeras filas: los factores polinómicos como n o n^2 no cambian el radio, pero sí pueden cambiar lo que pasa en los extremos.

Practica hasta que los pasos sean automáticos

Hallar un intervalo de convergencia es una rutina fija: cociente, límite, despejar, revisar los dos extremos. La rutina solo se vuelve rápida después de aplicarla a una docena de series distintas. La lección interactiva de abajo te da series nuevas para resolver, revisa cada paso al instante y te muestra exactamente dónde falló la prueba de un extremo.