Criterios de convergencia de series: cuál usar y cuándo

Estás mirando \sum \frac{3^n}{n!} y sabes que hay ocho criterios de convergencia distintos, pero ¿cuál usar? La mayoría de las preguntas de series no son difíciles una vez que eliges el criterio adecuado. Lo difícil es elegir. Esta guía cubre todos los criterios de convergencia estándar con un ejemplo resuelto y luego te da una tabla de decisión para elegir rápido.

¿Qué significa que una serie converja?

Una serie \sum a_n converge si sus sumas parciales S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N tienden a un número finito cuando N \to \infty. En caso contrario, diverge.

La mayoría de las veces no puedes calcular la suma exacta (las series geométricas son la gran excepción). Los criterios de convergencia responden una pregunta más sencilla: ¿existe la suma? Cada criterio de abajo da un veredicto de converge, diverge o no concluyente.

1. El criterio del término n-ésimo para la divergencia

Ejemplo. \sum \frac{n}{2n+1}. Los términos tienden a \frac12, no a 0. Sumar infinitos números cercanos a \frac12 no puede dar un total finito, así que la serie diverge.

Consejo: este criterio nunca puede demostrar convergencia. Si a_n \to 0, el criterio no dice nada y tienes que probar otro.

2. Series geométricas

Ejemplo. \sum \frac{5}{4^n} tiene r = \frac14, así que converge.

3. El criterio de las series p

Ejemplos. \sum \frac{1}{n^{3/2}} converge (p = 1.5). \sum \frac{1}{\sqrt n} diverge (p = 0.5). La serie armónica \sum \frac1n (p = 1) diverge, aunque sus términos se reduzcan a 0.

La serie armónica diverge con muchísima lentitud. Sus sumas parciales crecen como \ln N: necesitas más de 12.000 términos solo para pasar de 10. La gráfica muestra las sumas parciales atrapadas entre dos curvas logarítmicas, y ambas tienden a infinito.

4. El criterio de la integral

Si f es positiva, continua y decreciente para x \ge N, y a_n = f(n), entonces

Ejemplo. ¿Converge \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}?

Paso 1. Comprueba las condiciones. f(x) = \frac{1}{x\ln x} es positiva, continua y decreciente para x \ge 2.

Paso 2. Calcula la integral impropia. Con u = \ln x, du = \frac1x\,dx:

Paso 3. Concluye. La integral diverge, así que la serie diverge.

El criterio de la integral es también el origen de la regla de las series p: \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge exactamente cuando p > 1.

5. El criterio de comparación directa

Supón que 0 \le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande.

• Si \sum b_n converge, entonces la serie menor \sum a_n converge.
• Si \sum a_n diverge, entonces la serie mayor \sum b_n diverge.

Ejemplo (convergencia). \sum \frac{1}{n^2 + 5}. Como n^2 + 5 > n^2, tenemos \frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}. La serie p \sum \frac{1}{n^2} converge, así que esta serie converge.

Ejemplo (divergencia). \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}. Para n \ge 3, \ln n > 1, así que \frac{\ln n}{n} > \frac1n. La serie armónica diverge, así que esta serie diverge.

6. El criterio de comparación en el límite

La comparación directa necesita una desigualdad en el sentido correcto, y eso puede ser incómodo. El criterio de comparación en el límite solo necesita que los términos se comporten de forma parecida. Si a_n, b_n > 0 y

entonces \sum a_n y \sum b_n o bien ambas convergen o bien ambas divergen.

Ejemplo. ¿Converge \sum \frac{2n+3}{n^3+1}?

Paso 1. Elige b_n a partir de los términos dominantes. Para n grande, \frac{2n+3}{n^3+1} se comporta como \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}. Toma b_n = \frac1{n^2}.

Paso 2. Calcula el límite.

Paso 3. Concluye. L = 2 es positivo y finito, y \sum\frac1{n^2} converge, así que la serie original converge.

7. El criterio del cociente

Sea

Si L < 1 la serie converge (absolutamente). Si L > 1 diverge. Si L = 1 el criterio no es concluyente.

Ejemplo. ¿Converge \sum \frac{3^n}{n!}?

Paso 1. Forma el cociente.

Paso 2. Calcula el límite. \frac{3}{n+1} \to 0.

Paso 3. Concluye. L = 0 < 1, así que la serie converge.

El criterio del cociente brilla con factoriales y exponenciales, porque casi toda la expresión se simplifica. No sirve para las series p ni para las funciones racionales de n: tanto \sum\frac1n como \sum\frac1{n^2} dan L = 1.

8. El criterio de la raíz

Sea

Los veredictos son los mismos que en el criterio del cociente: con L < 1 converge, con L > 1 diverge y con L = 1 no es concluyente.

Ejemplo. ¿Converge \sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n?

Como L = \frac12 < 1, la serie converge. Usa el criterio de la raíz siempre que todo el término esté elevado a la potencia n.

9. El criterio de series alternadas

Una serie alternada tiene la forma \sum (-1)^{n+1} b_n con b_n > 0. Converge si

1. b_{n+1} \le b_n para todo n suficientemente grande (los tamaños terminan decreciendo), y
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Ejemplo. La serie armónica alternada 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots tiene b_n = \frac1n, que decrece hacia 0. Así que converge (de hecho, a \ln 2).

Cota del error. En una serie que cumple este criterio, detenerse después de N términos da un error no mayor que el siguiente término: |S - S_N| \le b_{N+1}. Por ejemplo, los primeros 99 términos de la serie armónica alternada están a menos de \frac{1}{100} de \ln 2.

Convergencia absoluta y condicional

Si \sum |a_n| converge, entonces \sum a_n también converge. A esto lo llamamos convergencia absoluta. La serie armónica alternada converge, pero \sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n diverge, así que solo converge condicionalmente. En cambio, \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} converge absolutamente, porque \sum\frac{1}{n^2} converge.

¿Qué criterio de convergencia deberías usar?

Recorre esta tabla desde arriba. La primera fila que encaje suele ser el camino más rápido.

Consejo: para encontrar la serie p adecuada para una comparación, quédate solo con la potencia más alta de n en el numerador y en el denominador. \frac{2n+3}{n^3+1} se comporta como \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}.

Errores comunes con los criterios de convergencia

1. Usar el criterio del término n-ésimo para demostrar convergencia. a_n \to 0 no demuestra nada. La serie armónica es el contraejemplo clásico.
2. Tomar L = 1 como un veredicto. En los criterios del cociente y de la raíz, L = 1 significa que hay que cambiar de criterio.
3. Comparar en el sentido equivocado. Ser menor que una serie divergente, o mayor que una convergente, no te dice nada.
4. Olvidar las condiciones del criterio de la integral. La función debe ser positiva y decreciente (al menos a partir de cierto punto).
5. Confundir la serie con la sucesión. "Los términos tienden a 0" y "la serie converge" son afirmaciones distintas.
6. Ignorar los valores absolutos. Los criterios del cociente y de la raíz usan |a_n|, y una serie alternada puede converger sin converger absolutamente.

Practica a elegir el criterio adecuado

Reconocer qué criterio encaja es una habilidad de reconocimiento de patrones, y solo se vuelve rápida con la repetición. Después de unas cuantas decenas de series, mirarás \frac{3^n}{n!} y pensarás "criterio del cociente" antes de terminar de leerla. La lección interactiva de abajo mezcla series de todos los tipos y te da una corrección inmediata tanto de tu elección de criterio como de tu conclusión.