Sustitución trigonométrica: los tres casos, triángulos y ejemplos

La integral \int \sqrt{4 - x^2}\,dx parece inofensiva, pero el cambio de variable falla (no hay una x fuera de la raíz que absorba el du) y la integración por partes no lleva a ninguna parte. La sustitución trigonométrica elimina por completo la raíz cuadrada reemplazando x por una función trigonométrica, y es la forma estándar de integrar expresiones con \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2} y \sqrt{x^2 - a^2}.

¿Qué es la sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica reemplaza x por a\sin\theta, a\tan\theta o a\sec\theta para que una identidad pitagórica reduzca la raíz cuadrada a un solo término. Por ejemplo, con x = 2\sin\theta:

La raíz desaparece y te queda una integral trigonométrica. Al final usas un triángulo rectángulo para reescribir la respuesta en función de x.

Las tres sustituciones trigonométricas

Una forma rápida de recordarlo: menos x^2 significa seno, más significa tangente, y x^2 menos significa secante.

Las sustituciones vienen con rangos de ángulos restringidos (-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} para el seno, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} para la tangente, y 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} para la secante cuando x \ge a). En esos rangos \cos\theta, \sec\theta y \tan\theta no son negativos, y por eso las raíces cuadradas se simplifican sin valores absolutos.

Los triángulos de referencia, explicados con palabras

Para volver a x, dibuja un triángulo rectángulo con ángulo \theta y etiqueta dos lados directamente a partir de tu sustitución. El tercer lado sale del teorema de Pitágoras, y siempre es la raíz cuadrada del problema.

• Caso del seno, x = a\sin\theta. Como \sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, pon x en el cateto opuesto a \theta y a en la hipotenusa. El cateto adyacente es \sqrt{a^2 - x^2}.
• Caso de la tangente, x = a\tan\theta. Como \tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}, pon x en el cateto opuesto y a en el adyacente. La hipotenusa es \sqrt{a^2 + x^2}.
• Caso de la secante, x = a\sec\theta. Como \sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}, pon x en la hipotenusa y a en el cateto adyacente. El cateto opuesto es \sqrt{x^2 - a^2}.

Una vez etiquetado el triángulo, cualquier función trigonométrica de \theta es un cociente de dos lados. Por ejemplo, en el triángulo del seno, \cot\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

El método de sustitución trigonométrica en cinco pasos

1. Identifica la forma y elige la sustitución de la tabla.
2. Sustituye x, dx y la raíz.
3. Simplifica e integra la integral trigonométrica en \theta.
4. Construye el triángulo a partir de tu sustitución.
5. Vuelve a x usando el triángulo (y \theta = \arcsin\frac{x}{a} o algo similar para cualquier \theta que quede suelta).

Ejemplo resuelto 1: la sustitución con seno

Calcula \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}.

Paso 1. Identifica la forma. \sqrt{9 - x^2} es \sqrt{a^2 - x^2} con a = 3, así que haz x = 3\sin\theta.

Paso 2. Sustituye. dx = 3\cos\theta\,d\theta, x^2 = 9\sin^2\theta y \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

Paso 3. Integra. \int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta, así que el resultado es -\frac19\cot\theta + C.

Paso 4. Construye el triángulo. \sin\theta = \frac{x}{3}: cateto opuesto x, hipotenusa 3, cateto adyacente \sqrt{9 - x^2}.

Paso 5. Regresa a la variable original. \cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}, así que

Ejemplo resuelto 2: el área de un cuarto de círculo

Calcula \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx.

La curva y = \sqrt{4 - x^2} es la mitad superior de la circunferencia de radio 2, así que esta integral debería ser igual a un cuarto del área del círculo, \frac14\pi(2)^2 = \pi. Vamos a confirmarlo.

Paso 1. Haz x = 2\sin\theta, así que dx = 2\cos\theta\,d\theta y \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta.

Paso 2. Cambia los límites. Cuando x = 0, \sin\theta = 0, así que \theta = 0. Cuando x = 2, \sin\theta = 1, así que \theta = \frac{\pi}{2}.

Paso 3. Sustituye.

Paso 4. Usa la identidad del ángulo mitad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}:

Como cambiamos los límites, no hizo falta volver a x.

Ejemplo resuelto 3: la sustitución con tangente

Calcula \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}.

Paso 1. La forma es \sqrt{a^2 + x^2} con a = 2. Haz x = 2\tan\theta.

Paso 2. dx = 2\sec^2\theta\,d\theta y \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta:

Paso 3. \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.

Paso 4. Triángulo. \tan\theta = \frac{x}{2}: cateto opuesto x, cateto adyacente 2, hipotenusa \sqrt{x^2 + 4}. Así que \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}.

Paso 5. Regresa a la variable original.

El -\ln 2 es una constante, así que se absorbe en C:

Ejemplo resuelto 4: la sustitución con secante

Calcula \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx para x > 1.

Paso 1. La forma es \sqrt{x^2 - a^2} con a = 1. Haz x = \sec\theta con 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.

Paso 2. dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta y \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

Paso 3. Usa \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1:

Paso 4. Triángulo. \sec\theta = x: hipotenusa x, cateto adyacente 1, cateto opuesto \sqrt{x^2-1}. Así que \tan\theta = \sqrt{x^2-1}, y \theta = \operatorname{arcsec} x.

Paso 5.

Ejemplo resuelto 5: pasar un ángulo doble de vuelta a x

Calcula \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Paso 1. La forma es \sqrt{a^2 - x^2} con a = 1. Haz x = \sin\theta.

Paso 2. dx = \cos\theta\,d\theta y \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta:

Paso 3. Usa \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}:

Paso 4. Reescribe el ángulo doble. El triángulo solo te da funciones de \theta, no de 2\theta, así que usa \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta:

Paso 5. Regresa a la variable original. El triángulo de \sin\theta = x tiene cateto opuesto x, hipotenusa 1 y cateto adyacente \sqrt{1-x^2}, así que \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}. Y \theta = \arcsin x.

Consejo: siempre que tu respuesta en \theta contenga \sin 2\theta o \cos 2\theta, desarróllala con una identidad del ángulo doble antes de usar el triángulo.

Completar primero el cuadrado

Si dentro de la raíz hay un cuadrático general, completa el cuadrado para llegar a una de las tres formas. Para \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}:

Haz u = x + 1 (así que du = dx). La integral se convierte en \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}, que es exactamente el ejemplo 3:

Cuándo no usar la sustitución trigonométrica

Busca siempre primero un método más sencillo. En \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx, el factor x es (salvo una constante) la derivada de 9 - x^2, así que el cambio de variable con u = 9 - x^2 da -\sqrt{9 - x^2} + C en dos líneas. La sustitución trigonométrica funcionaría, pero es el camino largo. De forma parecida, una función racional sin raíces suele ser trabajo para las fracciones parciales.

Errores comunes con la sustitución trigonométrica

1. Elegir la sustitución equivocada. \sqrt{x^2 - 9} necesita secante, no seno. Revisa con cuidado el patrón de signos.
2. Olvidar sustituir dx. dx se convierte en a\cos\theta\,d\theta (o la expresión que corresponda), no en d\theta.
3. Dejar la respuesta en \theta. Una integral indefinida debe terminar en x. Usa el triángulo.
4. Etiquetar mal el triángulo. Escribe la razón que define la sustitución (\sin\theta = \frac{x}{a}, por ejemplo) y coloca los lados a partir de ella, no de memoria.
5. Usar los límites viejos. En integrales definidas, convierte los límites a valores de \theta, o vuelve a x antes de evaluar.

Practica los tres casos hasta que encajen

La sustitución trigonométrica tiene muchas piezas, pero todos los problemas siguen los mismos cinco pasos. La forma más rápida de tomar confianza es hacer varios problemas seguidos para que los triángulos se vuelvan automáticos. La lección interactiva de abajo te da retroalimentación al instante en cada sustitución y te muestra el triángulo cada vez que te atascas.