Fracciones parciales: cómo descomponer e integrar, paso a paso

Puedes sumar \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} para obtener \frac{5x-1}{x^2-x-2} en unas pocas líneas. Pero si una integral te da \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx, ninguna regla básica sirve. Las fracciones parciales hacen esa suma al revés, y separan una fracción difícil en piezas sencillas que puedes integrar a simple vista.

¿Qué es la descomposición en fracciones parciales?

Una función racional es un polinomio dividido entre otro. La descomposición en fracciones parciales reescribe una función racional como una suma de fracciones más sencillas cuyos denominadores son los factores del denominador original. Por ejemplo:

Cada pieza de la derecha se integra como un logaritmo natural, así que la integral se vuelve rutinaria:

Paso 0: ¿la fracción es propia?

Las fracciones parciales solo funcionan cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si no, usa primero la división larga de polinomios.

Por ejemplo, \frac{x^2+1}{x^2-1} tiene grados iguales. Al dividir se obtiene

y solo \frac{2}{x^2-1} necesita descomponerse.

Las formas de las fracciones parciales

Factoriza el denominador por completo. Cada tipo de factor aporta su propio tipo de término:

Un cuadrático es irreducible cuando no se puede factorizar en los números reales, lo que ocurre cuando b^2 - 4c < 0. Algunos ejemplos son x^2 + 1 y x^2 + 2x + 5.

Caso 1: factores lineales distintos

Ejemplo resuelto 1

Calcula \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx.

Paso 1. Comprueba que es propia. Grado 1 sobre grado 2. Bien.

Paso 2. Factoriza el denominador. x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).

Paso 3. Escribe la forma.

Paso 4. Elimina los denominadores. Multiplica ambos lados por (x-2)(x+1):

Paso 5. Sustituye valores convenientes. En x = 2 desaparece el término con B: 9 = 3A, así que A = 3. En x = -1 desaparece el término con A: -6 = -3B, así que B = 2.

Paso 6. Integra.

El método de cubrir: un atajo para factores lineales

Para un factor lineal distinto (x-a) hay un atajo de una línea. Cubre ese factor en la fracción original y luego sustituye x = a en lo que queda.

Para \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}:

• Para hallar A sobre (x-2): cubre (x-2) y queda \frac{5x-1}{x+1}. En x = 2: \frac{9}{3} = 3.
• Para hallar B sobre (x+1): cubre (x+1) y queda \frac{5x-1}{x-2}. En x = -1: \frac{-6}{-3} = 2.

Las mismas respuestas, casi sin álgebra. Es exactamente el paso 5 hecho mentalmente.

Ejemplo resuelto 2: el método de cubrir junto con la división larga

Descompón \frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}.

• Cubre (x-1) y evalúa \frac{2}{x+1} en x = 1: A = 1.
• Cubre (x+1) y evalúa \frac{2}{x-1} en x = -1: B = -1.

Combinado con la división larga del paso 0:

Consejo: el método de cubrir da el coeficiente de cualquier factor lineal distinto y el de la potencia más alta de un factor repetido. Para las potencias menores de un factor repetido y para los factores cuadráticos, usa otro método.

Ejemplo resuelto 3: tres factores lineales distintos

Calcula \int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx.

Paso 1. Factoriza el denominador. Saca x como factor común y luego factoriza el cuadrático:

Paso 2. Escribe la forma.

Paso 3. Cubre cada factor.

• Cubre x y evalúa \frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)} en x = 0: \frac{-2}{(-1)(2)} = 1, así que A = 1.
• Cubre (x-1) y evalúa \frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)} en x = 1: \frac{6}{3} = 2, así que B = 2.
• Cubre (x+2) y evalúa \frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)} en x = -2: \frac{-6}{6} = -1, así que C = -1.

Paso 4. Integra.

Con tres factores lineales, resolver un sistema de ecuaciones llevaría varias líneas. El método de cubrir solo necesita tres evaluaciones rápidas.

Ejemplo resuelto 4: una integral definida

Calcula \int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx.

Por el ejemplo 2, \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}, así que

Simplifica con las propiedades de los logaritmos: \ln 2 - \ln 4 = -\ln 2 y \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3, así que el valor es -\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405.

Observa que el intervalo [2, 3] queda lejos de las asíntotas en x = \pm 1. Si un límite de integración cayera sobre una asíntota, sería una integral impropia y necesitaría un límite.

Dos maneras de hallar las constantes

Ya viste los dos métodos estándar. Conviene saber cuándo es más rápido cada uno.

• Sustituir raíces (o cubrir). Sustituye la raíz de cada factor lineal en la ecuación sin denominadores. Cada sustitución anula todos los términos menos uno, así que lees una constante de inmediato. Es el método más rápido para factores lineales distintos.
• Igualar coeficientes. Desarrolla el lado derecho, agrupa las potencias de x e iguala cada coeficiente con el correspondiente del lado izquierdo. Siempre funciona, y es la única opción para factores cuadráticos y para las potencias menores de un factor repetido.

En la práctica, la mayoría de los estudiantes combinan los dos: sustituyen raíces para obtener todas las constantes posibles y luego igualan uno o dos coeficientes para terminar.

Caso 2: factores lineales repetidos

Ejemplo resuelto 5

Calcula \int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx.

Paso 1. Escribe la forma. El factor (x+1) está al cuadrado, así que lleva dos términos:

Paso 2. Elimina los denominadores.

Paso 3. Sustituye las raíces. En x = 1: 4 = 4A, así que A = 1. En x = -1: -4 = -2C, así que C = 2.

Paso 4. Iguala un coeficiente para la última constante. Los términos en x^2 de la derecha son Ax^2 + Bx^2, y el lado izquierdo no tiene término en x^2, así que A + B = 0 y B = -1.

Paso 5. Integra cada pieza. El último término es una potencia, no un logaritmo:

El término (x+1)^{-2} se integra como \frac{(x+1)^{-1}}{-1}, y de ahí sale -\frac{2}{x+1}.

Caso 3: factores cuadráticos irreducibles

Ejemplo resuelto 6

Calcula \int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx.

Paso 1. Escribe la forma. x^2 + 1 no se puede factorizar, así que lleva un numerador lineal:

Paso 2. Elimina los denominadores y desarrolla.

Paso 3. Iguala coeficientes. Término independiente: A = 1. Término en x: C = 2. Término en x^2: A + B = 2, así que B = 1.

Paso 4. Separa la pieza cuadrática.

La pieza del medio es un cambio de variable con u = x^2+1, que da \tfrac12\ln(x^2+1). La última pieza es un arcotangente estándar.

Paso 5. Combina.

Consejo: si el cuadrático es algo como x^2 + 2x + 5, completa el cuadrado para obtener (x+1)^2 + 4 y luego usa \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C.

Errores comunes con las fracciones parciales

1. Saltarse la división larga. Si la fracción es impropia, la forma de la descomposición es incorrecta y las constantes no darán una solución coherente.
2. Darle un solo término a un factor repetido. (x+1)^2 necesita tanto \frac{B}{x+1} como \frac{C}{(x+1)^2}.
3. Poner una constante sobre un cuadrático. Un cuadrático irreducible necesita Bx + C arriba, no solo B.
4. Integrar \frac{1}{(x+1)^2} como un logaritmo. Es una potencia: -\frac{1}{x+1}.
5. No factorizar por completo. x^3 - x = x(x-1)(x+1) tiene tres factores lineales, no uno lineal y uno cuadrático.
6. Olvidar los valores absolutos dentro de los logaritmos.

Referencia rápida: cómo integrar cada pieza

Haz que la descomposición sea algo natural

Las fracciones parciales son un procedimiento, y los procedimientos se fijan con la repetición. Después de plantear una docena de descomposiciones, elegir la forma correcta y usar el atajo de cubrir te parecerá automático. Prueba la lección interactiva de abajo: revisa cada constante sobre la marcha y te muestra exactamente dónde falló un planteamiento.