Integración por partes: fórmula, LIATE y ejemplos resueltos

La sustitución resuelve \int 2x e^{x^2}\,dx sin problemas. Pero cámbiala por \int x e^x\,dx y ninguna sustitución ayuda, porque los dos factores no tienen nada que ver entre sí. La integración por partes está hecha exactamente para esta situación: un producto de dos tipos distintos de funciones.

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es la regla del producto al revés. La regla del producto dice que (uv)' = u'v + uv'. Integra ambos lados, reordena y obtienes la fórmula de la integración por partes:

Aquí u es una función que vas a derivar (para obtener du), y dv es la parte que vas a integrar (para obtener v). La fórmula cambia la integral original \int u\,dv por una nueva, \int v\,du. Todo el juego consiste en elegir u y dv para que la nueva integral sea más fácil.

Para integrales definidas, la misma fórmula queda así:

Cuándo usar la integración por partes

Recurre a partes después de descartar una sustitución (cambio de variable) más sencilla. Buenas señales de que partes es la herramienta adecuada:

• El integrando es un producto de dos tipos distintos de función, como un polinomio por una exponencial o un polinomio por una función trigonométrica.
• El integrando es una sola función fácil de derivar pero difícil de integrar, como \ln x, \arctan x o \arcsin x.
• Ningún factor es la derivada de algo que está dentro del otro. (Si lo fuera, funcionaría la sustitución.)

Cómo elegir u: la regla LIATE

Una buena u se vuelve más sencilla al derivarla, y una buena dv tiene que ser algo que puedas integrar. La regla LIATE ordena los tipos de funciones. Elige como u el factor que aparezca primero:

¿Por qué este orden? Los logaritmos y las trigonométricas inversas son difíciles de integrar pero tienen derivadas sencillas, así que van en u. Las exponenciales y los senos son tan fáciles de integrar como de derivar, así que son una dv natural.

Consejo: LIATE es una guía sólida, no una ley. Si tu elección empeora la nueva integral, intercambia u y dv y vuelve a intentarlo.

Ejemplo resuelto 1: x por e^x

Calcula \int x e^x\,dx.

Paso 1. Elige u y dv. Las algebraicas van antes que las exponenciales, así que u = x y dv = e^x\,dx.

Paso 2. Calcula du y v. du = dx y v = e^x.

Paso 3. Aplica la fórmula.

Paso 4. Termina la integral más fácil.

Comprobación: la derivada de e^x(x-1) es e^x(x-1) + e^x = x e^x. Correcto.

Si hubieras elegido u = e^x y dv = x\,dx, la nueva integral sería \int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx, que es peor. Ahí LIATE te salva.

Ejemplo resuelto 2: x por cos x

Calcula \int x\cos x\,dx.

Paso 1. u = x (algebraica), dv = \cos x\,dx (trigonométrica).

Paso 2. du = dx, v = \sin x.

Paso 3.

Cuidado con el signo: \int \sin x\,dx = -\cos x, y al restarla se obtiene +\cos x.

Ejemplo resuelto 3: la integral de ln x

Calcula \int \ln x\,dx.

Parece que solo hay un factor, pero siempre puedes escribir dv = dx.

Paso 1. u = \ln x, dv = dx.

Paso 2. du = \frac1x\,dx, v = x.

Paso 3.

El mismo truco resuelve \int \arctan x\,dx. Con u = \arctan x y dv = dx, obtienes x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx, y una rápida sustitución (cambio de variable) lo termina:

Ejemplo resuelto 4: una integral definida

Calcula \int_1^e \ln x\,dx.

Con la antiderivada del ejemplo 3:

El método tabular para la integración por partes repetida

Cuando u es un polinomio como x^3, tendrías que aplicar partes tres veces, reduciendo cada vez la potencia en uno. El método tabular (a veces llamado método DI) hace todas las rondas de una vez.

1. En la columna izquierda, escribe u y sigue derivando hasta llegar a 0.
2. En la columna derecha, escribe dv y sigue integrando, una fila por cada derivada.
3. Traza diagonales desde cada entrada de la izquierda hasta la entrada de la derecha una fila más abajo, con signos alternos +, -, +, -, \dots
4. Suma los productos de las diagonales.

Ejemplo resuelto 5: método tabular para x³ sen x

Calcula \int x^3\sin x\,dx.

Multiplica cada entrada de la izquierda por la entrada de la derecha de la fila de abajo, usando el signo de su fila:

Comprobación: al derivar se obtiene -3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x. Todo lo demás se cancela.

El método tabular funciona sin problemas siempre que u llegue a cero al derivarla y dv sea fácil de integrar una y otra vez, es decir, polinomio por e^{ax}, \sin(ax) o \cos(ax).

El caso cíclico: e^x sen x

Algunas integrales nunca se reducen a cero. En su lugar, tras dos rondas de partes, vuelve la integral original. No es un callejón sin salida. Es la solución.

Ejemplo resuelto 6: integrar e^x sen x

Calcula I = \int e^x\sin x\,dx.

Paso 1. Primera ronda. Sea u = \sin x, dv = e^x\,dx. Entonces du = \cos x\,dx, v = e^x:

Paso 2. Segunda ronda, con el mismo patrón. En la nueva integral, sea u = \cos x, dv = e^x\,dx. Entonces du = -\sin x\,dx, v = e^x:

Paso 3. Vuelve a sustituir.

Paso 4. Despeja I. Suma I a ambos lados: 2I = e^x(\sin x - \cos x), así que

Comprobación: la derivada es \tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x.

Consejo: en la segunda ronda, mantén el mismo tipo de función como u (trigonométrica las dos veces). Si cambias y eliges u = e^x, desharás el primer paso y acabarás con I = I.

Errores comunes con la integración por partes

1. Elegir u al revés. Tomar u = e^x en \int x e^x\,dx hace más difícil la integral. Sigue LIATE.
2. Errores de signo. La fórmula tiene un signo menos, y \int\sin x\,dx = -\cos x añade otro. La mayoría de las respuestas incorrectas vienen de aquí.
3. Olvidar v en el término uv. Es uv, no u\,dv.
4. No alternar los signos en el método tabular. Una de cada dos diagonales es negativa.
5. Cambiar de tipo en el caso cíclico. En \int e^x\sin x\,dx, mantén la trigonométrica como u las dos veces.
6. Olvidar el +C o no evaluar uv en los dos límites en una integral definida.

Referencia rápida

Practica hasta que LIATE sea automático

La integración por partes premia la repetición más que cualquier otra técnica: la fórmula es corta, pero elegir bien u y no equivocarse con los signos solo se vuelve natural con la práctica. La lección interactiva de abajo te da una corrección inmediata en cada paso, para que detectes un signo invertido antes de que se convierta en un hábito.