Volúmenes de revolución: métodos de discos, arandelas y capas

Haz girar una región plana alrededor de una recta y barrerá un sólido en 3D: un jarrón, un tazón, una cuenta. Hallar su volumen parece difícil, pero si lo cortas de la manera correcta, cada corte es una figura sencilla (un disco, una arandela o una capa cilíndrica delgada) y la integral las suma. Lo difícil es elegir el corte y acertar con el radio.

¿Qué es un volumen de revolución?

Un sólido de revolución es la figura en 3D que se obtiene al girar una región en 2D alrededor de una recta, llamada eje de rotación. Su volumen se encuentra cortándolo en rebanadas delgadas cuyo volumen conoces, y luego integrando.

Hay tres métodos estándar:

El método de discos

Gira alrededor del eje x la región bajo y = f(x) de a a b. Un corte vertical de grosor dx se convierte en una moneda delgada de radio R(x) = f(x) y volumen \pi R^2\,dx. Al sumar las monedas:

Ejemplo resuelto 1: girar y = √x alrededor del eje x

Encuentra el volumen que se obtiene al girar alrededor del eje x la región bajo y = \sqrt{x} de x = 0 a x = 4.

Paso 1. Radio. La región toca el eje, así que los cortes son discos con R(x) = \sqrt{x}.

Paso 2. Planteamiento.

Paso 3. Integra.

Consejo: una comprobación rápida del método de discos es un cono. Girar y = \frac{r}{h}x de 0 a h da \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h, la conocida fórmula del cono.

El método de arandelas

Si hay un espacio entre la región y el eje, cada corte tiene un hueco en el centro. Con radio exterior R(x) y radio interior r(x):

Ejemplo resuelto 2: la región entre y = x y y = x²

Gira alrededor del eje x la región entre y = x y y = x^2.

Paso 1. Límites. x = x^2 da x = 0 y x = 1 (ver área entre curvas).

Paso 2. Radios. En [0, 1], x \ge x^2, así que la recta está más lejos del eje. R(x) = x y r(x) = x^2.

Paso 3. Plantea e integra.

Ejemplo resuelto 3: girar alrededor de la recta y = 2

Gira la misma región alrededor de la recta horizontal y = 2.

Paso 1. Los radios como distancias. Todos los puntos de la región están por debajo de y = 2, así que la distancia de una curva al eje es 2 - y. La parábola y = x^2 está más abajo, así que está más lejos de y = 2:

Paso 2. Desarrolla.

Paso 3. Integra.

Observa cómo las curvas interior y exterior intercambiaron sus papeles respecto al ejemplo 2. Mide siempre desde el eje.

El método de capas

Ahora corta paralelamente al eje. Girar una franja vertical delgada alrededor del eje y produce un cilindro hueco (una capa). Desenrollada, una capa es casi una lámina plana de largo 2\pi(\text{radio}), altura h(x) y grosor dx. Así que, para un giro alrededor del eje y:

donde x es el radio de la capa y h(x) es la altura de la franja (arriba menos abajo).

Ejemplo resuelto 4: la misma región, alrededor del eje y

Gira alrededor del eje y la región entre y = x y y = x^2.

Paso 1. Radio y altura. Una franja vertical en x está a una distancia x del eje y. Su altura es x - x^2.

Paso 2. Plantea e integra.

Comprueba con arandelas. Cortando horizontalmente, despeja x de cada curva: el radio exterior es x = \sqrt{y} y el interior es x = y, para 0 \le y \le 1:

Los dos métodos coinciden.

Ejemplo resuelto 5: cuando las capas son la única opción sencilla

Gira alrededor del eje y la región bajo y = 2x^2 - x^3 de x = 0 a x = 2.

Las arandelas necesitarían x en función de y, lo que significa resolver una cúbica. Las capas evitan eso por completo.

Paso 1. Radio y altura. Radio x, altura 2x^2 - x^3.

Paso 2. Planteamiento.

Paso 3. Integra.

Discos, arandelas o capas: cómo elegir

Hazte dos preguntas: ¿qué eje? y ¿en qué variable están escritas las curvas?

El patrón: los discos y las arandelas cortan perpendicularmente al eje, y las capas cortan paralelamente a él. Elige el que te permita integrar en la variable en la que ya están escritas las curvas. Para capas alrededor de x = h, el radio pasa a ser |h - x| en lugar de x.

Errores comunes con los volúmenes de revolución

1. Escribir (R - r)^2 en lugar de R^2 - r^2. Eleva al cuadrado cada radio por separado y luego resta.
2. Olvidar \pi (o 2\pi). Los discos y las arandelas usan \pi; las capas usan 2\pi.
3. Medir el radio desde el lugar equivocado. El radio es la distancia al eje de rotación, no al eje x. Para y = 2, el radio de y = x^2 es 2 - x^2.
4. Intercambiar los radios interior y exterior. El radio exterior corresponde a la curva más lejana al eje, que no siempre es la curva de arriba.
5. Mezclar variables. Una integral en dy necesita radios y límites en función de y.

Practica volúmenes hasta que el planteamiento sea automático

Las integrales de estos problemas suelen ser fáciles. Los puntos están en el planteamiento: el corte correcto, el radio correcto, los límites correctos. La lección interactiva de abajo entrena exactamente eso, con retroalimentación al instante en cada radio y en cada integral, para que un radio interior intercambiado se detecte en el momento en que ocurre.