Volumes de révolution : méthodes des disques, anneaux et tubes

Faites tourner une région plane autour d'une droite, et elle balaie un solide en 3D : un vase, un bol, une perle. Calculer son volume semble difficile, mais si on le découpe de la bonne façon, chaque tranche est une forme simple (un disque, un anneau ou un tube cylindrique fin) et l'intégrale les additionne. Le plus difficile est de choisir la tranche et de trouver le bon rayon.

Qu'est-ce qu'un volume de révolution ?

Un solide de révolution est la forme en 3D obtenue en faisant tourner une région plane autour d'une droite, appelée axe de rotation. On calcule son volume en le découpant en tranches fines dont on connaît le volume, puis en intégrant.

Il y a trois méthodes classiques :

La méthode des disques

Faisons tourner la région sous y = f(x) de a à b autour de l'axe des x. Une tranche verticale d'épaisseur dx devient une fine pièce de monnaie de rayon R(x) = f(x) et de volume \pi R^2\,dx. En additionnant les pièces :

Exemple corrigé 1 : rotation de y = √x autour de l'axe des x

Trouvez le volume obtenu en faisant tourner la région sous y = \sqrt{x} de x = 0 à x = 4 autour de l'axe des x.

Étape 1. Rayon. La région touche l'axe, donc les tranches sont des disques avec R(x) = \sqrt{x}.

Étape 2. Poser l'intégrale.

Étape 3. Intégrer.

Astuce : une vérification rapide de la méthode des disques est le cône. Faire tourner y = \frac{r}{h}x de 0 à h donne \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h, la formule bien connue du cône.

La méthode des anneaux

S'il y a un espace entre la région et l'axe, chaque tranche a un trou au milieu. Avec un rayon extérieur R(x) et un rayon intérieur r(x) :

Exemple corrigé 2 : la région entre y = x et y = x²

Faites tourner la région comprise entre y = x et y = x^2 autour de l'axe des x.

Étape 1. Bornes. x = x^2 donne x = 0 et x = 1 (voir l'aire entre deux courbes).

Étape 2. Rayons. Sur [0, 1], x \ge x^2, donc la droite est plus loin de l'axe. R(x) = x et r(x) = x^2.

Étape 3. Poser et intégrer.

Exemple corrigé 3 : rotation autour de la droite y = 2

Faites tourner la même région autour de la droite horizontale y = 2.

Étape 1. Les rayons comme distances. Tous les points de la région sont sous y = 2, donc la distance d'une courbe à l'axe vaut 2 - y. La parabole y = x^2 est plus basse, elle est donc plus loin de y = 2 :

Étape 2. Développer.

Étape 3. Intégrer.

Remarquez que les courbes intérieure et extérieure ont échangé leurs rôles par rapport à l'exemple 2. Mesurez toujours à partir de l'axe.

La méthode des tubes

Coupons maintenant parallèlement à l'axe. Faire tourner une fine bande verticale autour de l'axe des y produit un cylindre creux (un tube). Déroulé, un tube est presque une feuille plane de longueur 2\pi(\text{rayon}), de hauteur h(x) et d'épaisseur dx. Pour une rotation autour de l'axe des y :

où x est le rayon du tube et h(x) la hauteur de la bande (haut moins bas).

Exemple corrigé 4 : la même région, autour de l'axe des y

Faites tourner la région comprise entre y = x et y = x^2 autour de l'axe des y.

Étape 1. Rayon et hauteur. Une bande verticale en x est à une distance x de l'axe des y. Sa hauteur vaut x - x^2.

Étape 2. Poser et intégrer.

Vérification par les anneaux. En coupant horizontalement, on exprime chaque courbe en x : le rayon extérieur est x = \sqrt{y} et le rayon intérieur x = y, pour 0 \le y \le 1 :

Les deux méthodes concordent.

Exemple corrigé 5 : quand les tubes sont la seule option simple

Faites tourner la région sous y = 2x^2 - x^3 de x = 0 à x = 2 autour de l'axe des y.

Les anneaux demanderaient x en fonction de y, donc de résoudre une équation du troisième degré. Les tubes évitent complètement cela.

Étape 1. Rayon et hauteur. Rayon x, hauteur 2x^2 - x^3.

Étape 2. Poser l'intégrale.

Étape 3. Intégrer.

Disques, anneaux ou tubes : comment choisir

Posez-vous deux questions : quel axe, et dans quelle variable les courbes sont-elles écrites ?

Le principe : les disques et les anneaux coupent perpendiculairement à l'axe, les tubes parallèlement. Choisissez la méthode qui permet d'intégrer dans la variable où les courbes sont déjà écrites. Pour des tubes autour de x = h, le rayon devient |h - x| au lieu de x.

Erreurs fréquentes avec les volumes de révolution

1. Écrire (R - r)^2 au lieu de R^2 - r^2. Élevez chaque rayon au carré séparément, puis soustrayez.
2. Oublier \pi (ou 2\pi). Les disques et les anneaux utilisent \pi ; les tubes utilisent 2\pi.
3. Mesurer le rayon depuis le mauvais endroit. Le rayon est la distance à l'axe de rotation, pas à l'axe des x. Pour y = 2, le rayon de y = x^2 vaut 2 - x^2.
4. Inverser les rayons intérieur et extérieur. Le rayon extérieur correspond à la courbe la plus éloignée de l'axe, qui n'est pas toujours la courbe du haut.
5. Mélanger les variables. Une intégrale en dy demande des rayons et des bornes en y.

Entraînez-vous jusqu'à poser les volumes par réflexe

Les intégrales de ces exercices sont généralement faciles. Les points se gagnent à la mise en place : la bonne tranche, le bon rayon, les bonnes bornes. La leçon interactive ci-dessous entraîne exactement cela, avec une correction immédiate de chaque rayon et de chaque intégrale, pour qu'un rayon intérieur inversé soit repéré dès qu'il apparaît.