Función exponencial natural eˣ: gráfica, derivada, integral y e

La función exponencial natural f(x) = e^x es la función exponencial cuya base es el número de Euler e \approx 2.71828. Es la función más importante del cálculo, porque es su propia derivada: la velocidad a la que crece e^x siempre es igual a su valor actual.

Fórmula y el número e

Toda función exponencial b^x tiene en x = 0 una pendiente proporcional a su altura. La base e es la única elección que hace que la pendiente en x = 0 sea exactamente 1, y por eso las derivadas de e^x salen tan limpias.

Gráfica de eˣ

Propiedades clave

• Dominio: todos los reales; rango: (0, \infty). e^x siempre es positiva.
• Siempre creciente y siempre cóncava hacia arriba, ya que f'(x) = f''(x) = e^x > 0.
• Asíntota horizontal y = 0: \lim_{x \to -\infty}e^x = 0, mientras que \lim_{x \to \infty}e^x = \infty.
• Inversa del logaritmo natural: e^{\ln x} = x para x > 0 y \ln(e^x) = x para todo x. Consulta el logaritmo natural.
• Leyes de los exponentes: e^{a+b} = e^ae^b, e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, (e^a)^b = e^{ab}, e^0 = 1.
• Crece más rápido que cualquier potencia: \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0 para todo n.
• Serie de potencias: e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, válida para todo x.

Derivada de eˣ

Con la regla de la cadena:

El exponente nunca baja delante. Eso es la regla de la potencia, que aquí no se aplica.

Integral de eˣ

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}.

Ejemplo 2: regla de la cadena. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}.

Ejemplo 3: regla del producto. \frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Ejemplo 4: integral definida. \int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1.

Ejemplo 5: sustitución (cambio de variable). Con u = x^2, \int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C.

Ejemplo 6: crecimiento exponencial. La solución de y' = ky con y(0) = y_0 es y = y_0e^{kt}. Por eso e aparece en el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva y el interés compuesto continuo.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}.
2. Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, no e^{5x}.
3. Integrar e^{kx} sin dividir entre k. \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C.
4. Tratar e^2 como una variable. e^2 es una constante, así que su derivada es 0.
5. Escribir e^{a+b} = e^a + e^b. Los exponentes se suman cuando multiplicas: e^{a+b} = e^ae^b.

Cómo se relaciona

e^x es la inversa de \ln x y la pieza básica de las funciones hiperbólicas. Cualquier exponencial se puede reescribir con base e: b^x = e^{x\ln b}. Para un recorrido completo con más práctica, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas, y consulta la serie de Taylor para su desarrollo en serie.