Regla de la potencia para derivadas: fórmula, ejemplos y demostración
La regla de la potencia: la derivada de x^n es n·x^(n−1). Fórmula, ejemplos con exponentes negativos y fraccionarios, demostración breve y errores comunes.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Cualquier potencia de x con exponente constante n (positivo, negativo, fraccionario o decimal)
- En palabras
- Baja el exponente como coeficiente y luego réstale uno al exponente
- No se aplica a
- Exponenciales como 2^x o e^x, donde la variable está en el exponente
- Versión para integrales
- \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n \ne -1
- Reglas relacionadas
- Regla del múltiplo constante, regla de la suma, regla de la cadena
En esta página
La regla de la potencia es el primer atajo de derivación que aprende la mayoría de los estudiantes, y el que más usan. Deriva cualquier potencia de x en un solo paso, sin necesidad de límites.
Fórmula de la regla de la potencia
Para cualquier exponente constante n:
Dos movimientos: baja el exponente como coeficiente y luego réstale uno al exponente.
Ejemplos
| Función | Reescritura | Derivada |
|---|---|---|
| x^5 | x^5 | 5x^4 |
| x | x^1 | 1 |
| 7 | 7x^0 | 0 |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x^2} | x^{2/3} | \frac{2}{3}x^{-1/3} |
Ejemplo: un polinomio. Combina la regla de la potencia con la regla de la suma y la regla del múltiplo constante:
Ejemplo: una potencia negativa. Para derivar f(x) = \frac{3}{x^4}, reescríbela como 3x^{-4}:
Fíjate en que el exponente pasa de -4 a -5, no a -3. Restarle uno a un número negativo lo hace más negativo.
Cuándo usar la regla de la potencia
Úsala siempre que veas una variable elevada a una potencia constante, después de reescribir lo necesario. En la práctica eso significa:
- polinomios, término a término;
- raíces, después de convertirlas en exponentes fraccionarios;
- términos con x en el denominador, después de convertirlos en exponentes negativos;
- la capa externa de una función como (x^2+1)^5, junto con la regla de la cadena.
Si el exponente contiene x, como en x^x o 3^x, la regla de la potencia no es la herramienta adecuada. Esos casos necesitan las reglas de las exponenciales o la derivación logarítmica.
La regla de la potencia al revés: integración
La integración deshace la derivación, así que la regla de la potencia tiene una imagen especular. Para integrar x^n, súmale uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente:
Por ejemplo, \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C. La única excepción es n = -1, donde \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C. Consulta la regla de la potencia para integrales.
Por qué funciona la regla de la potencia
Para un exponente natural, desarrolla (x+h)^n con el binomio de Newton dentro de la definición de derivada como límite:
Cuando h \to 0, todos los términos que contienen h desaparecen y queda nx^{n-1}. La regla se extiende a todos los exponentes reales mediante la derivación logarítmica.
Errores comunes
- Restar uno antes de bajar el exponente. \frac{d}{dx}x^4 es 4x^3, no 3x^3.
- Usarla con exponenciales. \frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}. La variable está en el exponente, así que necesitas la regla de las exponenciales.
- No reescribir primero. No puedes aplicar la regla de la potencia a \frac{1}{x^2} hasta escribirla como x^{-2}.
- Olvidar la regla de la cadena. Para (3x+1)^4 la regla de la potencia da solo parte de la respuesta. También hay que multiplicar por la derivada interna, 3. Consulta la regla de la cadena.
Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre la regla de la potencia.
Practícalo ahora
La regla de la potencia
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección