Funciones exponenciales bˣ: gráficas, crecimiento, derivada e integral

Una función exponencial tiene una base constante elevada a una potencia variable, f(x) = b^x. Cada vez que x aumenta en 1, la salida se multiplica por el mismo factor b, y por eso las exponenciales modelan el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la vida media y cualquier cosa que cambie en un porcentaje fijo.

Fórmula

En general, f(x) = A\,b^x, donde A = f(0) es el valor inicial. Las restricciones sobre b importan: b = 1 da la constante 1, y una base negativa como (-2)^x no es real para la mayoría de los x fraccionarios. La base más importante es e; consulta la función exponencial natural.

Gráficas de funciones exponenciales

Propiedades clave

• Dominio: todos los reales; rango: (0, \infty); la gráfica siempre pasa por (0, 1).
• Crecimiento (b > 1): creciente, b^x \to \infty cuando x \to \infty y b^x \to 0 cuando x \to -\infty.
• Decrecimiento (0 < b < 1): decreciente, con los límites opuestos.
• Asíntota horizontal y = 0 en ambos casos. No tiene cortes con el eje x.
• Cóncava hacia arriba para cualquier base válida.
• La inversa es la función logarítmica \log_b x.
• Cambio de base: b^x = e^{x\ln b}.
• Leyes de los exponentes: b^{m}b^{n} = b^{m+n}, \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}, (b^m)^n = b^{mn}, b^{-n} = \frac{1}{b^n}.

Derivada de bˣ

Reescribe con base e y usa la regla de la cadena:

La derivada es proporcional a la propia función. Para b > 1, \ln b > 0 (crecimiento); para 0 < b < 1, \ln b < 0 (decrecimiento). Con una función interior, \frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x).

Integral de bˣ

Deriva el lado derecho para comprobarlo: \frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5.

Ejemplo 2: regla de la cadena. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x.

Ejemplo 3: integral definida. \int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33.

Ejemplo 4: vida media. Una muestra con una vida media de 5 años cumple A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}. La tasa de decrecimiento es

así que, en cada instante, la muestra pierde alrededor del 13.9\% de su cantidad actual por año.

Ejemplo 5: interés compuesto. Con un interés anual del 5\%, P(t) = P_0(1.05)^t. Con capitalización continua se convierte en P_0e^{0.05t}.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia. \frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}.
2. Olvidar el factor \ln b, o escribir \log_{10} b en lugar de \ln b.
3. Multiplicar en lugar de dividir al integrar. \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, no 2^x\ln 2 + C.
4. Escribir 2 \cdot 3^x = 6^x. El coeficiente no se combina con la base.

Cómo se relaciona

Las exponenciales crecen más rápido que cualquier polinomio, un hecho clave en muchos problemas de límites en el infinito y de la regla de L'Hôpital. Las sucesiones geométricas son exponenciales evaluadas en números enteros, lo que lleva a la serie geométrica. Para practicar más derivadas, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.