Regla de la suma y la diferencia para derivadas: fórmula y ejemplos
La regla de la suma y la diferencia: deriva una suma o una resta término a término. La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración y los errores más comunes.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Cualquier suma o diferencia de funciones derivables, con cualquier número de términos
- En palabras
- Deriva término a término y conserva los signos más y menos
- Combinada con
- La regla del múltiplo constante, da (af + bg)' = af' + bg'
- No se aplica a
- Productos y cocientes, que necesitan las reglas del producto y del cociente
- Versión para integrales
- \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
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La regla de la suma y la diferencia dice que puedes derivar una suma o una diferencia término a término. La derivada de f + g es f' + g', y la derivada de f - g es f' - g'. Es la regla que hace fáciles los polinomios.
Fórmula de la regla de la suma y la diferencia
Si f y g son derivables, entonces
La regla se extiende a cualquier número de términos. Combinada con la regla del múltiplo constante, dice que la derivación es lineal:
Ejemplos
Ejemplo 1: un polinomio. Usa la regla de la potencia en cada término y la regla de la constante en la constante:
Ejemplo 2: funciones de distinto tipo. Cada término usa su propia regla:
Ejemplo 3: una diferencia con un logaritmo.
Ejemplo 4: separa primero una fracción. Cuando el denominador es un solo término, divide cada término del numerador entre él y luego usa la regla de la suma:
Así evitas por completo la regla del cociente.
Por qué funciona la regla de la suma
En la definición de derivada como límite, reagrupa el cociente incremental en dos cocientes incrementales:
Cuando h \to 0, la ley de la suma para límites (consulta las leyes de los límites) convierte el lado derecho en f'(x) + g'(x). La regla de la diferencia es el mismo razonamiento con un signo menos.
Lo que no cubre la regla de la suma
La regla de la suma es tan natural que a veces los estudiantes suponen que los productos y los cocientes se comportan igual. No es así:
| Expresión | Regla correcta | Derivada correcta |
|---|---|---|
| x^2 + \sin x | Regla de la suma | 2x + \cos x |
| x^2 \sin x | Regla del producto | 2x\sin x + x^2\cos x |
| \frac{x^2}{\sin x} | Regla del cociente | \frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x} |
| \sin(x^2) | Regla de la cadena | 2x\cos(x^2) |
Comprueba que la derivada de x^2 \sin x no es 2x\cos x: por ejemplo, en x = \frac{\pi}{2} la derivada correcta es \pi, mientras que 2x\cos x da 0.
Errores comunes
- Perder un signo menos. En \frac{d}{dx}(x^3 - \cos x), la derivada de \cos x es -\sin x, así que la respuesta es 3x^2 + \sin x. Controla ambos signos.
- Extender la regla a los productos. (fg)' \ne f'g'. Usa la regla del producto.
- Separar una fracción cuyo denominador es una suma. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Solo puedes separar cuando el denominador es un solo término.
Para una colección completa de ejemplos con polinomios y la regla de la potencia, lee la guía completa sobre la regla de la potencia.
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