Regla de la potencia para integrales: fórmula, ejemplos y n = −1
La regla de la potencia para integrales: la integral de x^n es x^(n+1)/(n+1) + C si n ≠ −1. Ejemplos con raíces y potencias negativas, y la excepción ln|x|.
Reglas de integración Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Cualquier potencia de x con exponente constante n \ne -1
- En palabras
- Suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente
- Excepción
- \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Comprobación
- Deriva el resultado con la regla de la potencia; deberías recuperar x^n
- Reglas relacionadas
- Regla de la potencia para derivadas, linealidad de la integral, integración por sustitución
En esta página
La regla de la potencia para integrales da la antiderivada (primitiva) de cualquier potencia de x. Es la regla de la potencia de las derivadas aplicada al revés: en lugar de bajar el exponente y multiplicar, subes el exponente y divides.
La fórmula de la regla de la potencia para integrales
Para cualquier exponente constante n \ne -1:
Dos pasos: suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente. El +C aparece porque toda función tiene infinitas antiderivadas que se diferencian en una constante.
Siempre puedes comprobar el resultado derivándolo:
Ejemplos
| Integrando | Reescritura | Antiderivada |
|---|---|---|
| x^4 | x^4 | \frac{x^5}{5} + C |
| x | x^1 | \frac{x^2}{2} + C |
| 5 | 5x^0 | 5x + C |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C |
| \frac{1}{x^3} | x^{-3} | -\frac{1}{2x^2} + C |
| \frac{1}{\sqrt{x}} | x^{-1/2} | 2\sqrt{x} + C |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | \ln\lvert x\rvert + C (excepción) |
Ejemplo: un polinomio. Combina la regla con la linealidad e integra término a término:
Ejemplo: una potencia negativa. Reescribe \frac{4}{x^5} como 4x^{-5}:
El exponente pasa de -5 a -4. Sumar uno a un número negativo lo hace menos negativo.
Ejemplo: una potencia fraccionaria. Para \int \sqrt[3]{x}\,dx, escribe x^{1/3}. El nuevo exponente es \frac{4}{3}, y dividir entre \frac{4}{3} equivale a multiplicar por \frac{3}{4}:
La excepción n = −1
Cuando n = -1 la fórmula obliga a dividir entre cero, así que no funciona. La antiderivada de x^{-1} es el logaritmo natural:
El valor absoluto hace que el resultado también sea válido para x negativos. Por eso \frac{1}{x} tiene su propia fila en todas las tablas de integrales.
Cuándo usar la regla de la potencia para integrales
Úsala cuando el integrando sea una suma de términos de la forma kx^n, quizá después de reescribirlo:
- polinomios, término a término;
- raíces, después de pasarlas a exponentes fraccionarios;
- términos con x en el denominador, después de pasarlos a exponentes negativos;
- productos o cocientes que puedas desarrollar o separar antes, como \frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}.
Si la base no es simplemente x, como en (3x-2)^5, necesitas la integración por sustitución. Si la variable está en el exponente, como en 2^x, necesitas la regla exponencial \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.
Errores comunes
- Dividir entre el exponente antiguo. \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C, no \frac{x^4}{3} + C.
- Aplicarla a productos. \int x(x+1)\,dx no es \frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right). Desarrolla primero a x^2 + x.
- Usarla con \frac{1}{x}. \int x^{-1}\,dx es \ln\lvert x\rvert + C, no \frac{x^0}{0}.
- Olvidar el +C. Una integral indefinida es toda una familia de funciones.
- Tratar la potencia de un binomio como una potencia de x. \int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Al derivar ese resultado aparece un factor 2 de más.
Para una visión general de las antiderivadas, incluidas las reglas trigonométricas y exponenciales, lee la guía completa de antiderivadas.
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