Teorema de la divergencia (teorema de Gauss): enunciado y ejemplos

El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, dice que el flujo total de un campo vectorial hacia fuera de una superficie cerrada es igual a la divergencia total del campo en su interior. Lo que sale a través de la piel tiene que ser producido por fuentes del interior.

Enunciado del teorema de la divergencia

Sean

1. E una región sólida del espacio cuya frontera S es una superficie cerrada y suave a trozos,
2. S orientada con la normal exterior \mathbf{n}, y
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a E.

Entonces

Aquí \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS es el flujo saliente.

Qué significa el teorema de la divergencia

Piensa en \mathbf{F} como la velocidad de un fluido. La divergencia en un punto es la tasa a la que se crea fluido allí por unidad de volumen: positiva en una fuente, negativa en un sumidero. Sumar toda la creación dentro del sólido da la cantidad total que sale por su superficie. Igual que en el teorema de Green, el flujo a través de cada pared interna entre cajitas diminutas se cancela, y solo queda la frontera exterior.

Por qué importa cada hipótesis

Suavidad en el interior. El campo de cuadrado inverso \mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}, donde \mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle, tiene \nabla\cdot\mathbf{F} = 0 en todas partes salvo en el origen, donde no está definida. Sin embargo, en la esfera unidad \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1, así que el flujo es el área de la superficie, 4\pi, y no 0. El teorema falla porque E contiene el punto singular. Esto es exactamente la ley de Gauss: el flujo mide la carga puntual del interior.

Una superficie cerrada. El flujo a través de una superficie abierta, como un hemisferio, no queda determinado solo por la divergencia. Primero cierra la superficie.

Orientación hacia fuera. Usar normales hacia dentro cambia el signo del flujo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: \mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle a través de una esfera de radio R.

Paso 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.

Paso 2. \iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.

Comprobación directa. En la esfera, \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}, así que \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R. El flujo es R por el área 4\pi R^2, es decir, 4\pi R^3.

Ejemplo 2: \mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle a través de la esfera unidad.

\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2 en coordenadas esféricas. Entonces

Calcular este flujo como integral de superficie costaría mucho más trabajo.

Ejemplo 3: un cubo con seis caras. Halla el flujo saliente de \mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle a través de la superficie del cubo unidad [0, 1]^3.

Paso 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1.

Paso 2. Integra sobre el cubo término a término (cada una de las otras variables integra a 1):

Una sola integral triple sustituye a seis integrales de superficie distintas.

Errores comunes

1. Aplicarlo a una superficie abierta. El teorema necesita la frontera cerrada de un sólido.
2. Pasar por alto una singularidad. Comprueba que \mathbf{F} esté definido y sea suave en todos los puntos del interior, sobre todo en el origen.
3. Confundir la divergencia con el rotacional. La divergencia es un escalar, P_x + Q_y + R_z; el rotacional es un vector y pertenece al teorema de Stokes.

Teoremas y guías relacionados

El teorema de la divergencia, el teorema de Stokes y el teorema de Green son versiones de una misma idea: integrar una derivada sobre una región es igual a integrar el campo original sobre la frontera, igual que en el teorema fundamental del cálculo. Para la parte de la integral triple, empieza por las integrales dobles, y para las operaciones con vectores consulta vectores, producto escalar y producto vectorial.