Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2: cálculo de integrales

El Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2 (TFC 2), también llamado regla de Barrow o teorema de evaluación, dice que una integral definida se puede calcular hallando una antiderivada y restando sus valores en los extremos del intervalo. Sustituye el límite de sumas de Riemann por una sola línea de álgebra.

Enunciado del TFC, parte 2

Supongamos que

1. f es continua en [a, b], y
2. F es cualquier antiderivada de f en [a, b], es decir, F'(x) = f(x).

Entonces

El lado derecho se escribe a menudo como \big[F(x)\big]_a^b o F(x)\Big|_a^b.

Qué significa el TFC 2

La integral definida suma f(x)\,dx a lo largo del intervalo. Si f es la tasa de cambio de F, sumar todos los pequeños cambios F'(x)\,dx da el cambio total de F, que es F(b) - F(a). Este es el teorema del cambio neto: integra la velocidad para obtener el desplazamiento, integra un caudal para obtener el volumen total.

Por qué importa la continuidad

Considera \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx. Una antiderivada de x^{-2} es -\frac{1}{x}, y aplicar la fórmula a ciegas da

Pero \frac{1}{x^2} > 0 en todas partes, así que su integral no puede ser negativa. El error: \frac{1}{x^2} no es continua en [-1, 1] porque se dispara en x = 0, así que el TFC 2 no se aplica. Tratada correctamente como una integral impropia, diverge a \infty. Comprueba siempre si hay discontinuidades dentro del intervalo antes de sustituir.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un polinomio. Calcula \int_1^3 (2x + 1)\,dx.

Paso 1. Una antiderivada es F(x) = x^2 + x.

Paso 2. F(3) = 9 + 3 = 12 y F(1) = 1 + 1 = 2.

Paso 3. \int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10.

Comprobación con geometría: la región es un trapecio con lados paralelos f(1) = 3 y f(3) = 7 y anchura 2, así que su área es \frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10.

Ejemplo 2: una integral trigonométrica. Calcula \int_0^\pi \sin x\,dx.

Es el área bajo un arco de la curva del seno, que se muestra en la gráfica de arriba.

Ejemplo 3: un logaritmo. Calcula \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

\frac{1}{x} es continua en [1, e], y una antiderivada es \ln x. Así que

Ejemplo 4: cambio neto. Un depósito se llena a razón de r(t) = 3t^2 litros por minuto. Entre t = 1 y t = 2 minutos, el volumen aumenta en

Errores comunes

1. Restar en el orden equivocado. Es F(b) - F(a), primero el límite superior.
2. Quitar los paréntesis. Con F(x) = x^2 - 3x, escribe F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a). Si pierdes los paréntesis, cambian los signos.
3. Ignorar las discontinuidades. Como se vio arriba, un integrando que se dispara dentro de [a, b] requiere las técnicas de integrales impropias.
4. Confundir área con área con signo. El TFC 2 da el área con signo: las regiones por debajo del eje x cuentan como negativas. Para el área total, divide donde f cambia de signo, como en el área entre curvas.

Cómo se relaciona el TFC 2 con el TFC 1

La parte 1 del TFC dice que G(x) = \int_a^x f(t)\,dt es una antiderivada de f. Cualquier otra antiderivada difiere de G en una constante (una consecuencia del Teorema del Valor Medio), así que F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. Esa es toda la demostración de la parte 2.

Para hallar antiderivadas, consulta antiderivadas y sustitución (cambio de variable). Para ver las dos partes del teorema con más ejemplos, lee la guía del Teorema Fundamental del Cálculo.